约瑟夫环问题的两种解法（详解）

Posted 2021-01-14 zhoumin6012

约瑟夫环问题的两种解法（详解）

题目：

 Josephus有过的故事：39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中，39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓。于是决定了自杀方式，41个人排成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀。然后下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从，Josephus要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏。

对于这个题目大概两种解法：

一、使用循环链表模拟全过程

二、公式法

    我们假设这41个人编号是从0开始，从1开始报数，第3个人自杀。

1、最开始我们有这么多人：

[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

2、第一次自杀，则是(3-1)%41=2 这个人自杀，则剩下：

[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

3、然后就是从编号为3%41=3的人开始从1报数，那么3号就相当于头，既然是头为什么不把它置为0，这样从它开始就又是与第1,2步一样的步骤了，只是人数少了一个，这样不就是递归了！！！就可以得到递归公式。想法有了就开始做：

4、把第2步中剩下的人编号减去3映射为：

[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]

5、出现负数了，这样不利于我们计算，既然是环形，37后面报数的应该是-3，-2，那么把他们加上一个总数（相当于加上360度，得到的还是它）

[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]

6、这样就是一个总数为40个人，报数到3杀一个人的游戏。

这次自杀的是第5步中的(3-1)%40=2号，但是我们想要的是第2步中的编号（也就是最初的编号）

那最初的是多少？对应回去是5；

这个5是如何得到的呢？是（2+3)%41得到的。大家可以把第5步中所有元素对应到第2步都是正确的。

7、接下来是

[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]

自杀的是(3-1)%39=2，先对应到第5步中是(2+3)%40=5，对应到第2步是(5+3)%41=8。

8、这下看出来规律了把：

我们是正着推的，如果反过来推导，每次剩下的人的编号为f(i)，剩一个人的时候编号一定为0，两个人为0,1，以此类推，则利用以下公式可以推导出每次剩下的人。