约瑟夫环问题的两种解法(详解)

Posted zhoumin6012

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了约瑟夫环问题的两种解法(详解)相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

约瑟夫环问题的两种解法(详解)

题目:

 Josephus有过的故事:39 个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓。于是决定了自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀。然后下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。然而Josephus 和他的朋友并不想遵从,Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。

对于这个题目大概两种解法:

一、使用循环链表模拟全过程

二、公式法
    我们假设这41个人编号是从0开始,从1开始报数,第3个人自杀。

1、最开始我们有这么多人:

[ 0 1 2 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

2、第一次自杀,则是(3-1)%41=2 这个人自杀,则剩下:

[ 0 1 3 4 5 ... 37 38 39 40 ]

3、然后就是从编号为3%41=3的人开始从1报数,那么3号就相当于头,既然是头为什么不把它置为0,这样从它开始就又是与第1,2步一样的步骤了,只是人数少了一个,这样不就是递归了!!!就可以得到递归公式。想法有了就开始做:

4、把第2步中剩下的人编号减去3映射为:

[ -3 -2 0 1 2 ... 34 35 36 37 ]

5、出现负数了,这样不利于我们计算,既然是环形,37后面报数的应该是-3,-2,那么把他们加上一个总数(相当于加上360度,得到的还是它)

[ 38 39 0 1 2 3 ... 34 35 36 37 ]

6、这样就是一个总数为40个人,报数到3杀一个人的游戏。

这次自杀的是第5步中的(3-1)%40=2号,但是我们想要的是第2步中的编号(也就是最初的编号)

那最初的是多少?对应回去是5;

这个5是如何得到的呢?是(2+3)%41得到的。大家可以把第5步中所有元素对应到第2步都是正确的。

7、接下来是

[ 35 36 37 38 0 1 2... 31 32 33 34 ]

自杀的是(3-1)%39=2,先对应到第5步中是(2+3)%40=5,对应到第2步是(5+3)%41=8。

8、这下看出来规律了把:

我们是正着推的,如果反过来推导,每次剩下的人的编号为f(i),剩一个人的时候编号一定为0,两个人为0,1,以此类推,则利用以下公式可以推导出每次剩下的人。 

 


以上是关于约瑟夫环问题的两种解法(详解)的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

约瑟夫环(猴子问题)最快解法

约瑟夫环(猴子问题)递归思路解法

Josephus环的四种解法(约瑟夫环)

这样给面试官解释约瑟夫环问题的几种巧妙解法,面试官满意的笑了

这样给面试官解释约瑟夫环问题的几种巧妙解法,面试官满意的笑了

好记性不如烂笔头约瑟夫环问题之形象解法(其实就是实实在在的模拟一下游戏过程)