算法：约瑟夫环问题

Posted 2021-03-23 magic-sea

一、约瑟夫问题

　　人们站在一个等待被处决的圈子里。计数从圆圈中指定点开始，并沿着指定方向围绕圆圈进行。在跳过指定数量的人之后，执行下一个人。对剩下的人重复该过程，从下一个开始，朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放。这是由一位犹太历史学家约瑟夫根据经历来命名的问题，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中，他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。这个问题即，给定人数、起点、方向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的位置以避免被处决。

二、数学推导过程

　　该问题具有以下递归结构。

1     josephus(n, k) = (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1
2     josephus(1, k) = 1

　　第一个人（从第 k 个开始）被杀死后，剩下 n-1 个人。因此，我们将 josephus（n – 1，k）称为 n-1 人。但是 josephus（n – 1，k）返回的位置将考虑从 k％n + 1 开始的位置。因此，我们必须对 josephus（n – 1，k）返回的位置进行调整。

　　设 {displaystyle f(n)} 为一开始有 {displaystyle n} 个人时，生还者的位置（注意：最终的生还者只有一个）。走了一圈以后，所有偶数号码的人被杀。再走第二圈，则新的第二、第四、……个人被杀，等等；就像没有了第一圈一样。如果一开始有偶数个人，则第二圈时位置为 {displaystyle x} 的人一开始在第 {displaystyle 2x-1} 个位置。因此位置为 {displaystyle f(2n)} 的人开始时的位置为 {displaystyle 2f(n)-1}。这便给出了以下的递推公式：

　　

　　如果一开始有奇数个人，则走了一圈以后，最终是号码为 1 的人被杀。于是同样地，再走第二圈时，新的第二、第四、……个人被杀，等等。在这种情况下，位置为 {displaystyle x} 的人原先位置为 {displaystyle 2x+1}。这便给出了以下的递推公式：

　　

　　如果我们把 {displaystyle n} 和 {displaystyle f(n)} 的值列成表，可以看出一个规律：

{displaystyle n}	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
{displaystyle f(n)}	1	1	3	1	3	5	7	1	3	5	7	9	11	13	15	1

　　从中可以看出， 是一个递增的奇数数列，每当 n 是2的幂时，便重新从  开始。因此，如果我们选择 m 和 l，使得  且 ，那么。注意：2^m 是不超过 n 的最大幂，l 是留下的量。显然，表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。

 

定理：如果{displaystyle n=2^{m}+l} 且 {displaystyle 0leq l<2^{m}}，则 {displaystyle f(n)=2l+1}。

证明：对 {displaystyle n} 应用 数学归纳法。{displaystyle n=1} 的情况显然成立。我们分别考虑 {displaystyle n} 是偶数和 {displaystyle n} 是奇数的情况。

　　如果 {displaystyle n} 是偶数，则我们选择 {displaystyle l_{1}} 和 {displaystyle m_{1}}，使得 {displaystyle n/2=2^{m_{1}}+l_{1}}，且 {displaystyle 0leq l_{1}<2^{m_{1}}}。注意 {displaystyle l_{1}=l/2}。我们有 {displaystyle f(n)=2f(n/2)-1=2((2l_{1})+1)-1=2l+1}，其中第二个等式从归纳假设推出。

　　如果 {displaystyle n} 是奇数，则我们选择 {displaystyle l_{1}} 和 {displaystyle m_{1}}，使得 {displaystyle (n-1)/2=2^{m_{1}}+l_{1}}，且 {displaystyle 0leq l_{1}<2^{m_{1}}}。注意 {displaystyle l_{1}=(l-1)/2}。我们有{displaystyle f(n)=2f((n-1)/2)+1=2((2l_{1})+1)+1=2l+1}，其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。

 

　　一般情况下，考虑生还者的号码从{displaystyle n-1}到{displaystyle n}的变化, 我们可以得到以下的递推公式(编号从0开始)：

　　　　　　，

　　这种方法的 运行时间复杂度 是 {displaystyle O(n)}。

三、实现代码

 1 package algorithm;
 2 
 3 public class JosephusProblem {
 4     private static int josephus(int n, int k) {
 5         if (n == 1)
 6             return 1;
 7         else
 8             return (josephus(n-1, k) + k - 1) % n + 1;
 9     }
10 
11     public static void main(String[] args) {
12         int n = 14;
13         int k = 2;
14         System.out.println("The chosen place is " + josephus(n, k));
15     }
16 }

 

参考：约瑟夫问题