算法:约瑟夫环问题

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了算法:约瑟夫环问题相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

一、约瑟夫问题

  人们站在一个等待被处决的圈子里。计数从圆圈中指定点开始,并沿着指定方向围绕圆圈进行。在跳过指定数量的人之后,执行下一个人。对剩下的人重复该过程,从下一个开始,朝同一方向跳过相同数量的人,直到只剩下一个人,并被释放。这是由一位犹太历史学家约瑟夫根据经历来命名的问题,他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中,他们讨论是自杀还是被俘,最终决定自杀,并以抽签的方式决定谁杀掉谁。这个问题即,给定人数、起点、方向和要跳过的数字,选择初始圆圈中的位置以避免被处决。

二、数学推导过程

  该问题具有以下递归结构。

1     josephus(n, k) = (josephus(n - 1, k) + k-1) % n + 1
2     josephus(1, k) = 1

  第一个人(从第 k 个开始)被杀死后,剩下 n-1 个人。因此,我们将 josephus(n – 1,k)称为 n-1 人。但是 josephus(n – 1,k)返回的位置将考虑从 k%n + 1 开始的位置。因此,我们必须对 josephus(n – 1,k)返回的位置进行调整。

  设 技术图片 为一开始有 技术图片 个人时,生还者的位置(注意:最终的生还者只有一个)。走了一圈以后,所有偶数号码的人被杀。再走第二圈,则新的第二、第四、……个人被杀,等等;就像没有了第一圈一样。如果一开始有偶数个人,则第二圈时位置为 技术图片 的人一开始在第 技术图片 个位置。因此位置为 技术图片 的人开始时的位置为 技术图片。这便给出了以下的递推公式:

  技术图片

  如果一开始有奇数个人,则走了一圈以后,最终是号码为 1 的人被杀。于是同样地,再走第二圈时,新的第二、第四、……个人被杀,等等。在这种情况下,位置为 技术图片 的人原先位置为 技术图片。这便给出了以下的递推公式:

  技术图片

  如果我们把 技术图片 和 技术图片 的值列成表,可以看出一个规律:

技术图片

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

技术图片

1

1

3

1

3

5

7

1

3

5

7

9

11

13

15

 1

  从中可以看出,技术图片 是一个递增的奇数数列,每当 是2的幂时,便重新从 技术图片 开始。因此,如果我们选择 m 和 l,使得 技术图片 且 技术图片,那么技术图片。注意:2m 是不超过 n 的最大幂,l 是留下的量。显然,表格中的值满足这个方程。我们用数学归纳法给出一个证明。

 

定理:如果技术图片 且 技术图片,则 技术图片

证明:对 技术图片 应用 数学归纳法技术图片 的情况显然成立。我们分别考虑 技术图片 是偶数和 技术图片 是奇数的情况。

  如果 技术图片 是偶数,则我们选择 技术图片 和 技术图片,使得 技术图片,且 技术图片。注意 技术图片。我们有 技术图片,其中第二个等式从归纳假设推出。

  如果 技术图片 是奇数,则我们选择 技术图片 和 技术图片,使得 技术图片,且 技术图片。注意 技术图片。我们有技术图片,其中第二个等式从归纳假设推出。证毕。

 

  一般情况下,考虑生还者的号码从技术图片技术图片的变化, 我们可以得到以下的递推公式(编号从0开始):

      技术图片技术图片

  这种方法的 运行时间复杂度 是 技术图片

三、实现代码

 1 package algorithm;
 2 
 3 public class JosephusProblem {
 4     private static int josephus(int n, int k) {
 5         if (n == 1)
 6             return 1;
 7         else
 8             return (josephus(n-1, k) + k - 1) % n + 1;
 9     }
10 
11     public static void main(String[] args) {
12         int n = 14;
13         int k = 2;
14         System.out.println("The chosen place is " + josephus(n, k));
15     }
16 }

 

参考:约瑟夫问题

以上是关于算法:约瑟夫环问题的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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