散列表的平均查找长度怎么计算？

Posted 2023-04-25

参考技术A

对于含有n个数据元素的查找表，查找成功的平均查找长度为：ASL=∑PiCi (i=1，2，3，…，n)，可以简单以数学上的期望来这么理解。其中：Pi 为查找表中第i个数据元素的概率，Ci为找到第i个数据元素时已经比较过的次数。

在查找表中查找不到待查元素，但是找到待查元素应该在表中存在的位置的平均查找次数称为查找不成功时的平均查找长度，不成功。

扩展资料

散列表的查找过程基本上和造表过程相同。一些关键码可通过散列函数转换的地址直接找到，另一些关键码在散列函数得到的地址上产生了冲突，需要按处理冲突的方法进行查找。在介绍的三种处理冲突的方法中，产生冲突后的查找仍然是给定值与关键码进行比较的过程。所以，对散列表查找效率的量度，依然用平均查找长度来衡量。

查找过程中，关键码的比较次数，取决于产生冲突的多少，产生的冲突少，查找效率就高，产生的冲突多，查找效率就低。因此，影响产生冲突多少的因素，也就是影响查找效率的因素。影响产生冲突多少有以下三个因素：

1、散列函数是否均匀；

2、处理冲突的方法；

3、散列表的装填因子。

散列表的装填因子定义为：α= 填入表中的元素个数 / 散列表的长度

α是散列表装满程度的标志因子。由于表长是定值，α与“填入表中的元素个数”成正比，所以，α越大，填入表中的元素较多，产生冲突的可能性就越大；α越小，填入表中的元素较少，产生冲突的可能性就越小。

实际上，散列表的平均查找长度是装填因子α的函数，只是不同处理冲突的方法有不同的函数。

参考资料来源：百度百科-平均查找长度

参考资料来源：百度百科-散列表

散列表

2018-02-24 23:54:41

散列表（Hash table，也叫哈希表），是根据键（Key）而直接访问在内存存储位置的数据结构。也就是说，它通过计算一个关于键值的函数，将所需查询的数据映射到表中一个位置来访问记录，这加快了查找速度。这个映射函数称做散列函数，存放记录的数组称做散列表。

问题：如何快速搜索到需要的关键词？如果关键词不方便比较怎么办？

求解：查找常用的方法有二分查找(O(lgn))，二叉搜索树查找(O(h))，平衡二叉搜索树查找(O(lgN))等。但是对于关键词不方便比较的问题，使用任意一种方法都不是很方便。这时可以使用散列表。

查找的策略：查找的本质是根据所给的关键词，找到相应的位置。

1）有序安排对象：全序、半序 -- 二分查找

2）根据关键词计算出位置 -- 散列

散列查找法的两项基本工作：

1. 计算位置：构造散列函数计算关键词的存储位置。
   
2. 解决冲突：解决多个关键词计算得到的位置相同的问题。

如果散列函数构造合理，冲突解决方案合适，那么操作的时间复杂度可以达到O(1)。

一、散列表的抽象数据类型

散列的基本思想是：

（1）以关键字key为自变量，通过噢一个确定的函数h（散列函数），计算出对应的函数值h（key），作为数据的存储位置；

（2）可能不同的关键字会映射到同一个存储位置上，这别称为冲突，所以需要某种冲突解决策略。

 

二、散列函数

一个‘好’的散列函数一般要考虑下列的两个因素：

1）计算简单，以便提高转换效率；

2）关键字对应的地址空间分布均匀，以减少冲突的发生；

•  数字关键字

1）直接定址法

取关键词的某个线性函数值为散列地址，即：

h(key) = a * key + b (a 、b 为常数)

2）除留余数法

散列函数为：

h(key) = key mod p

 

关于除数为什么选择素数的理解：

假设N = kn, M = km， N和M存在最大公因数k，此时可以将N % M = r转化为公式N = Mq + r，即kn = kmq + r。其中q是商，r是余数。“表面上”r的取值范围是{0, 1, 2, …, M-1}（忽视了只有N与M最大公因数为1时，才能取整个余数集合R的定理），一片和谐。但是可以对公式进行稍微的变换，n = mq + (r/k)，由于n和mq都是整数，则(r/k)也是整数。此时我们看一看到(r/k)的取值范围是{0, 1, 2, …, m} = {0, 1, 2, …, M/k}。恢复到原式，也是就r的“实际”取值范围是{0, k, 2*k, 3*k, …, m*k}，缩小了k倍。

一切都明了了，我们最后的目标就是保证N与M最大公因数为1。最简单的方式就是直接取M为质数！

3）数字分析法

分析数字关键字在各位上的变化情况，取比较随机的位作为散列地址。

4）折叠法

5）平方取中法

• 字符串关键字

1）简单的ASCII码加和取mod法

冲突严重，比如a3 、b2 、c1 ；eat 、 tea ；

h(key) = (Σkey[i]) mod TableSize

2）好的散列函数——移位法

涉及关键词所有n 个字符，并且分布得很好：

 

三、冲突处理

处理冲突的方法：

1. 换个位置: 开放地址法
2. 同一位置的冲突对象组织在一起: 链地址法

•  开放定址法（Open Addressing）

一旦产生了冲突某（该地址已有其它元素），就按某种规则去寻找另一空地址。

若发生了第 i  次冲突，试探的下一个地址将增加d i ，基本公式是：

h i (key) = (h(key)+d i ) mod TableSize ( 1≤ i < TableSize )

 

1）线性探测法（Linear Probing）

线性探测法 ： 以列增量序列 1 ，2，……，（TableSize -1）。循环试探下一个存储地址。

2）平方探测法（Quadratic Probing）--- 二次探测

线性探测的方法就是每次遇到冲突就依次往后找空位，显然，这种方法很容易就会造成聚集的现象，也就是在一片区域大面积的冲突，为了解决这个问题又提出了平方探测法。

所谓平方探测法，其实也很好理解，就是把刚刚的+i，变成了+-i^2。具体来说，如下：

这里的q <= tableSize/2的原因是，当从1递增到q进行检索的时候，实际尝试的位置是2*q，如果继续增大q毫无疑问会发生重复，另外，有定理已经证明了，从1到q是互异的，这也就从理论上说明了，这种平方探测可以完全遍历整个空间。

定理：如果散列表长度TableSize是某个4k+3（k 是正整数）形式的素数时，平方探测法就可以探查到整个散列表空间。

在开放地址散列表中，删除操作要很小心。通常只能“ 懒惰删除 ”，即需要增加一个“ 删除标记(  Deleted ) ” ，而并不是真正删除它。以便查找时不会“ 断链 ”。其空间可以在下次插入时重用。

3）双散列探测法（Double Hashing）

上面提到的方法都是直接对偏移量进行数学运算，在双散列法中提出偏移量本身也是一个散列函数。

4）再散列（Rehashing）

• 链地址法

分离链接法：将相应位置上冲突的所有关键词存储 在同一个单链表中。

 

四、散列表的性能分析

平均查找长度（ASL）用来度量散列表查找效率：成功、不成功。

影响散列的性能的三个主要因素是：

1. 散列函数是否均匀；
2. 处理冲突的方法；
3. 散列表的装填因子α；

1）线性探测法的查找性能

2）平方探测法和双散列探测法的查找性能

3）分离链接法的查找性能

4）期望探测次数与装填因子α的关系

 

五、总结