算法帮助：如何将数组分成 N 段，最大段最少（平衡分段）

Posted 2023-03-05

【中文标题】算法帮助：如何将数组分成 N 段，最大段最少（平衡分段）

【英文标题】：Algorithm help: how to divide array into N segments with least possible largest segment (balanced segmenting)

【发布时间】：2015-03-21 15:38:04

【问题描述】：

我在一个俄罗斯编程论坛上遇到了这个问题，但还没有想出一个优雅的解决方案。

问题：

你有一个N个正整数的数组，你需要把它分成M个连续的段，这样最大段的总和就是可能的最小值。段的总数是指其所有整数的总和。换句话说，我想要一个均衡的数组分割，你不希望单个分割太大。

示例：

数组：[4,7,12,5,3,16]

M = 3，意味着我需要将我的数组分成3个子数组。

解决方案是：[4,7] [12, 5] [3, 16]，这样最大的片段是 [3, 16] = 19 并且没有其他分段变体可以产生具有较小片段的最大片段总计。

另一个例子：

数组 [3, 13, 5, 7, 18, 8, 20, 1] M = 4

解：[3, 13, 5] [7, 18] [8] [20, 1]，“最胖”的段是[7, 18] = 25（有错请指正，我编的这个例子）

我感觉这是一些经典的 CS/数学问题，可能与某个名人的名字相关联，例如 Dijkstra 的问题。 - 有什么已知的解决方案吗？ - 如果没有，你能想出除暴力破解之外的其他解决方案吗，据我所知，时间复杂度是指数的。（N^M，更具体地说）。

提前致谢，***ers。

【问题讨论】：

这个问题更适合Programmers Stack Exchange。

@Jordan 为什么？ *** help 表示您可以询问软件算法。 Programmers help 表示您可以询问算法和数据结构概念。我可以看到这个问题适合任何一个网站。

如果这是一个家庭作业问题，您应该展示一些代码和自己的基本研究（根据网站定义）。听起来确实像背包问题，顺便说一句。

听起来像是画家的问题：leetcode.com/2011/04/the-painters-partition-problem.html

@eckes 这可能是背包问题的变体。

【参考方案1】：

让我们对答案进行二分搜索。

对于一个固定的答案X，很容易检查它是否可行（我们可以使用贪心算法（总是取最长的段，使其总和为<= X）并比较M) 的段数。

总时间复杂度为O(N * log(sum of all elements))。

这是一些伪代码

boolean isFeasible(int[] array, long candidate, int m) 
    // Here goes the greedy algorithm.
    // It finds the minimum number of segments we can get(minSegments).
    ...
    return minSegments <= m;


long getMinimumSum(int[] array, int m) 
    long low = 0; // too small
    long high = sum of elements of the array // definitely big enough
    while (high - low > 1) 
         long mid = low + (high - low) / 2;
         if (isFeasible(array, mid, m))
             high = mid;
         else
             low = mid;
    
    return high;

【讨论】：

能否请您扩展您的答案？我没有理解二进制部分，数组没有排序，也不允许。

不错。一个小的优化：如果您发现自己尝试的值 X 小于 SUM/M，您可以跳过该迭代的 O(N) 贪婪通道并立即得出 X 太低的结论，因为在 any 将 SUM 分成 M 部分，必须至少有一个部分 >= SUM/M。

如何证明贪心算法是最优的？

【参考方案2】：

我喜欢ILoveCoding's approach。这是另一种需要 O(MN^2) 时间的方法，如果 N 和 M 很小但数组中的数字非常大（具体而言，如果 log(sum) >> MN ，这是可能的，但诚然听起来不太现实）。它使用动态规划。

让我们考虑仅将由前 i

计算 f(i, 1) 很容易——这只是前 i 个元素的总和：

f(i, 1) = x[1] + ... + x[i]

要计算 j >= 2 的 f(i, j)，请注意元素 i 必须是从某个位置 1 在任何参数 (i, j) 的最优解中，前面的 j-1 个段本身必须是参数 (k-1, j-1) 的最优解。因此，如果我们考虑这个最终段的每个可能的起始位置 k 并取其最佳，我们将计算前 i 个元素的最佳 j 分区：

[编辑 3/2/2015：我们需要取新段的最大值和剩余的最大段，而不是相加！]

f(i, j >= 2) = minimum of (max(f(k-1, j-1), x[k] + ... + x[i])) over all 1 <= k <= i

如果我们按降序尝试 k 值，那么我们可以很容易地在每个 k 值的常数时间内建立总和，因此计算单个 f(i, j) 值需要 O(N) 时间。我们要计算这些值的 MN，因此所需的总时间是 O(MN^2)。

还需要一个边界条件来禁止尝试分割成多于元素的片段：

f(i, j > i) = infinity

一旦我们计算了 f(N, M)，我们可以通过以通常的方式追溯 DP 矩阵来提取相应的分区——但在这种情况下，使用 ILoveCoding 的贪心算法构建分区可能更容易.无论哪种方式都需要 O(N) 时间。