倍增RMQ的ST表算法

Posted 2020-09-28 Fugtemypt

$RMQ$问题：给定一个长度为$N$的区间，$M$个询问，每次询问$[L_i,R_i]$这段区间元素的最大值/最小值。

$RMQ$的高级写法一般有两种，即为线段树和$ST$表。

本文主要讲解一下$ST$表的写法。（以区间最大值为例）

$ST$表：一种利用$dp$思想求解区间最值的倍增算法。

定义：$f(i,j)$表示$[i,i+2^{j}-1]$这段长度为$2^{j}$的区间中的最大值。

预处理：$f(i,0)=a_i$。即$[i,i]$区间的最大值就是$a_i$。

状态转移：将$[i,j]$平均分成两段，一段为$[i,i+2^{j-1}-1]$，另一段为$[i+2^{j-1},i+2^{j}-1]$。

两段的长度均为$2^{j-1}$。$f(i,j)$的最大值即这两段的最大值中的最大值。

得到$f(i,j)=max\\{f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1)\\}$。

void RMQ(int N){
    /*注意外部循环从j开始，
    因为初始状态为f[i][0],
    以i为外层会有一些状态遍历不到。*/ 
    for(int j=1;j<=20;j++)  
        for(int i=1;i<=N;i++)
            if(i+(1<<j)-1<=N)
                f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}

 

查询：若需要查询的区间为$[i,j]$，则需要找到两个覆盖这个闭区间的最小幂区间。

这两个区间可以重复，因为两个区间是否相交对区间最值没有影响。（如下图）

当然求区间和就肯定不行了。这也就是$RMQ$的限制性。

因为区间的长度为$j-i+1$，所以可以取$k=log_2(j-i+1)$。

则$RMQ(A,i,j)=max\\{f(i,k),f(j-2^{k}+1,k)\\}$。

 

代码：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
int a[100001],f[100001][20];
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char c=getchar();
    for(;!isdigit(c);c=getchar())
        if(c==\'-\')
            f=-1;
    for(;isdigit(c);c=getchar())
        x=x*10+c-\'0\';
    return x*f;
}
void RMQ(int N){
    for(int j=1;j<=20;j++)    
        for(int i=1;i<=N;i++)
            if(i+(1<<j)-1<=N)
                f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); 
}
int main(){
    int N=read(),M=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) a[i]=read();
    for(int i=1;i<=N;i++) f[i][0]=a[i];
    RMQ(N); 
    while(M--){
        int i=read(),j=read();
         int k=(int)(log((double)(j-i+1))/log(2.0)); 
        printf("%d\\n",max(f[i][k],f[j-(1<<k)+1][k]));
    }
    return 0;
}