在 O(nlogk) 时间内找到长度为 n 的列表中总和小于 t 的 k 个元素

Posted 2023-02-19

【中文标题】在 O(nlogk) 时间内找到长度为 n 的列表中总和小于 t 的 k 个元素

【英文标题】：Finding k elements of length-n list that sum to less than t in O(nlogk) time

【发布时间】：2014-10-16 18:57:26

【问题描述】：

这是来自编程珍珠版。 2，第2栏，第8题：

给定一个由 n 个实数、一个实数 t 和一个整数 k 组成的集合，你能多快确定该集合中是否存在一个总和为 t 的 k 元素子集？

一个简单的解决方案是对前 k 个元素进行排序和求和，这是我们找到这样一个和的最大希望。然而，在解决方案部分，Bentley 提到了一个需要 nlog(k) 时间的解决方案，尽管他没有给出如何找到它的提示。我一直在为此苦苦挣扎；我的一个想法是遍历列表并添加小于 t/k 的所有元素（在 O(n) 时间内）；假设有 m1

def kSubsetSumUnderT(inList, k, t):
    outList = []
    s = 0
    m = 0
    while len(outList) < k:
        toJoin = [i for i in inList where i < (t - s)/(k - m)]
        if len(toJoin):
            if len(toJoin) >= k - m:
                toJoin.sort()
                if(s + sum(toJoin[0:(k - m - 1)]) < t:
                    return True
                return False
            outList = outList + toJoin
            s += sum(toJoin)
            m += len(toJoin)
        else:
            return False

我的直觉是这可能是 O(nlog(k)) 算法，但我很难向自己证明这一点。想法？

【问题讨论】：

我想我昨天或前一天看到了问题？

你是说这里吗？我环顾了一下，没有找到任何东西。

【参考方案1】：

可能具有运行时间 Theta(n log k) 的自然算法是初始化一个具有 k 无穷大的最大堆，然后遍历数组，推送新元素并弹出最大值以将 k 最小留在堆中结束。 （正如 Bentley 所提到的，在 Theta(n) 时间，选择渐近更快。在实践中选择的最佳方法可能是堆积并弹出 min k 次，即 Theta(n + k log n) = Theta(n)当 k = O(n/log n).)

【参考方案2】：

考虑 t>0 和 all([x>t for x in inList]) 的示例。 toJoin 永远是空的，你的算法甚至都没有完成，更不用说在 O(nlog(k)) 中了。

您可能缺少的提示是http://en.wikipedia.org/wiki/Heap_(data_structure)

【讨论】：

很好，感谢您指点我一堆！我修改了我的代码来捕捉这种情况；为了了解，我将研究其最坏情况下的性能。