如何找到最小 L 使得长度为 L 的 k 个给定段可以覆盖 n 个给定点？

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何找到最小 L 使得长度为 L 的 k 个给定段可以覆盖 n 个给定点？

【英文标题】：How to find minimum L such that k given segments with length L could cover n given points?

【发布时间】：2021-11-14 15:50:24

【问题描述】：

x轴上有n个点，每个点都有一个整数坐标，范围为[0, n^3 ]。我们可以用 k 个线段覆盖这些点，每个线段长度为 L（一个线段可以覆盖其中的所有点，包括端点）。 给定k和n，如何在O(nlogn)时间内求出最小L？

我认为如果n0，但是当n>k时，事情就开始变得复杂了，希望你能帮帮我。

【问题讨论】：

到目前为止您尝试过什么？您是否有一个比O(n log n) 复杂度更高的有效算法并正在尝试优化？

您好，请添加您尝试过的minimal reproducible example

【参考方案1】：

首先，对L 进行二分搜索。假设有一个魔术函数check(L) 返回是否可以覆盖长度为L 的点，我们使用二分搜索找到最小L 使得check(L) 返回true。

那么，让我们来实现那个神奇的功能吧。我们可以贪婪地放置我们的线段：找到最左边未被覆盖的点，并放置一个线段，使其左端点位于该点。重复此k 次，并检查是否已覆盖所有n 点。

二进制搜索调用check(L)O(log n) 次，如果我们有一个点的顺序列表（只需从左到右扫描数组），每次调用check(L) 都需要O(n)，总共是O(n log n) .由于点列表没有改变，我们可以对列表进行预排序，这也需要O(n log n)时间。所以这个算法的时间复杂度是O(n log n)。

【讨论】：

晶莹剔透，非常感谢！

@Sakura 不客气！介意接受答案吗？ :)