是否有可能在比（n 选择 3）更好的时间内找到可以从长度列表中形成的三角形数量？

Posted 2023-02-22

【中文标题】是否有可能在比（n 选择 3）更好的时间内找到可以从长度列表中形成的三角形数量？

【英文标题】：Is it possible to find the number of triangles that can be formed from a list of lengths in better than (n choose 3) time?

【发布时间】：2016-10-04 15:00:49

【问题描述】：

这与我正在处理的一个更大的问题有关。

例如，假设我们有一个列表

9 5 6 1

可能的个三角形都有边长

(9,5,6)
(9,6,1)
(9,5,1)
(5,6,1)

有效的（通过三角不等式）是

(9,5,6)
(5,6,1)

是否有可能在比O(n choose 3) 更好的时间找到那些有效的？

【问题讨论】：

@Deadly 尼古丁，你说的 O(n 选择 3) 是什么意思，是 O(n^3) 吗？

@Abdenaceur Lichiheb 他说的是二项式系数

@AbdenaceurLichiheb 是的，对不起。我的意思是说有N个选择3个这样的可能性，但是找到这些可能性的蛮力算法确实是O(N^3)

这个问题是否是这里的主题是discussed on Meta。

【参考方案1】：

一般情况下，答案是否：假设你得到了

 1, 1 - ε, 1 - 2 * ε, ..., 1 - (n - 1) * ε 

在这种情况下，所有 3 个项目的组合

 n * (n - 1) * (n - 2) / 6 = O(n**3)

是 distinct 并制作 有效的三角形 并且您有 O(n**3) 复杂性只是为了枚举（和输出 ) 他们

【参考方案2】：

首先对列表进行排序。

现在不是做完整的 O(n^3) 搜索，我们只需要在 O(n^2) 中搜索一对点并找到第三个点（可能不止一个点，所以你需要检查下界和上界）通过二分查找。

所以总体上新的复杂度是 O(n^2 log(n))

【讨论】：

是的，但这只是对它们进行计数，如果您想要生成实际的三元组，最坏的情况仍然是O(n^3)，因为您需要以某种方式生成输出

@cobarzan，是的，你是对的，确定我只是给出了三角形的数量，但如果你需要实际的三元组，那么它绝对是 O(n^3) ，但仍然被认为是局部优化。

【参考方案3】：

没有。你可以有一个任意大的输入集合，其中每个三元组都是一个有效的三角形。