如何求解：T(n) = T(n - 1) + n

Posted 2023-02-19

【中文标题】如何求解：T(n) = T(n - 1) + n

【英文标题】：How to solve: T(n) = T(n - 1) + n

【发布时间】：2011-02-14 17:29:51

【问题描述】：

我已经解决了以下问题：

T(n) = T(n - 1) + n = O(n^2)

现在当我解决这个问题时，我发现界限非常松散。是我做错了什么还是就是这样？

【问题讨论】：

我投票结束这个问题，因为它是一个数学问题，而不是一个编程问题。

【参考方案1】：

您还需要一个循环关系的基本案例。

T(1) = c
T(n) = T(n-1) + n

要解决这个问题，您可以先猜测一个解决方案，然后使用归纳法证明它有效。

T(n) = (n + 1) * n / 2 + c - 1

首先是基本情况。当 n = 1 时，这将根据需要给出 c。

对于其他 n:

  T(n)
= (n + 1) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) + 2) * n / 2 + c - 1
= ((n - 1) * n / 2) + (2 * n / 2) + c - 1
= (n * (n - 1) / 2) + c - 1) + (2 * n / 2)
= T(n - 1) + n

所以解决方案有效。

首先要进行猜测，请注意，当 c = 1 时，您的重复关系会生成 triangular numbers：

T(1) = 1:

*

T(2) = 3:

*
**

T(3) = 6:

*
**
***

T(4) = 10:

*
**
***
****

etc..

直观地说，三角形大约是正方形的一半，在 Big-O 表示法中，可以忽略常数，因此 O(n^2) 是预期的结果。

【讨论】：

你能告诉我你是如何得到答案中的第三个等式的吗？你应用了什么数学技术？

@Tony：这是一个“猜测”。实际上，这是因为我知道三角数的公式——我实际上并没有猜到，我已经知道了。通常更容易“猜测”正确答案并证明它是正确的，而不是从第一原理中推导出来。这是解决递归关系的标准技术。

@Tony：有根据的猜测的技术术语是“ansatz”。请参阅：en.wikipedia.org/wiki/Ansatz。***中有一些关于使用猜测来解决递归关系的信息：en.wikipedia.org/wiki/Recurrence_relation。那里还列出了解决递归关系的其他可能方法。

从 O(n^2) 可以更容易地猜出精确解是二次多项式 ax^2+bx+c 并求解 a、b 和 c。 Knuth、Oren、Patashnik 所著的《具体数学》一书中详细描述了如何解决这些问题。

【参考方案2】：

这样想： 在递归的每个“迭代”中，您都做 O(n) 的工作。 每次迭代都有 n-1 个工作要做，直到 n = 基本情况。 （我假设基本情况是 O(n) 工作） 因此，假设基本情况是与 n 无关的常数，则递归有 O(n) 次迭代。 如果您有 n 次 O(n) 迭代，则 O(n)*O(n) = O(n^2)。 你的分析是正确的。如果您想了解有关这种解决递归方法的更多信息，请查看递归树。与其他方法相比，它们非常直观。

【讨论】：

我对这一切的数学思考太多了，忘记了我们正在处理递归这一事实。也许这就是我不太明白的原因。对于上面我得到了 T(n)

不太明白你在问什么，上面有很多

@Tony：不，这是不正确的。对于小的 n，T(n) 可以大于 2n。

【参考方案3】：

这个解决方案非常简单。你必须展开递归：

T(n) = T(n-1) + n = T(n-2) + (n - 1) + n = 
= T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n = ... =
= T(0) + 1 + 2 + ... + (n-1) + n 

这里有算术级数，总和是1/2*n*(n-1)。从技术上讲，您在这里缺少边界条件，但是对于任何恒定的边界条件，您都会看到递归是 O(n^2)。

【参考方案4】：

看起来不错，但取决于基本情况 T(1)。假设您将执行 n 步以使 T(n) 变为 T(0)，并且每次 n 项在 0 和 n 之间的任何地方，平均 n/2 所以 n * n/2 = (n^2)/2 = O(n^2)。