求解递归关系T（n）= T（n-1）+ n

Posted 2021-04-08

我从之前对这个问题的回答中看到，该人给出了：

T（n）= T（n-2）+ n-1 + n

T（n）= T（n-3）+ n-2 + n-1 + n

T（n）= T（n-k）+ kn -k（k-1）/ 2

我不完全理解第三行。我可以看到它们可能是从1 / 2n（n + 1）的算术级数公式求和得出的吗？但他们是如何得到kn和k（k-1）/ 2前的减号？

答案

从...开始：

T(n) = T(n-2) + n-1 + n

我们可以重写如下：

T(n) = T(n-2) + 2n - 1

第二个公式说：

T(n) = T(n-3)+n-2+n-1+n

让我们以与第一个相同的方式转换它：

T(n) = T(n-3)+n+n+n-2-1
T(n) = T(n-3)+3n-2-1

通过扩展更多项，我们注意到在递归项中从n中减去的数字：T（n-3）总是与乘以n的数相同。我们可以重写如下：

T(n) = T(n-k)+kn+...

我们还注意到-2 -1是算术系列，但是否定了k-1的恒星。与n（n + 1）/ 2一样，k-1的算术是（k-1）* k / 2。这样的关系就是

T(n) = T(n-k)+kn-(k-1)*k/2 or T(n) = T(n-k)+kn-k*(k-1)/2

希望这个帮助;）

另一答案

k(k-1)/2术语只是数字0到k-1的总和。您可以看到为什么需要从以下计算中减去它：

T(n) = 
T(n-k) + n + (n-1) + (n-2) + ... + (n-(k-1)) =
T(n-k) + (n-0) + (n-1) + (n-2) + ... + (n-(k-1)) =
T(n-k) + n + n + n + ... + n - 0 - 1 - 2 ... - (k-1) =
T(n-k) + kn - (0 + 1 + 2 + ... + (k-1)) =
T(n-k) + kn - k*(k-1)/2

另一答案

如果仔细观察：

T(n) = T(n-2) + n-1 + n = T(n-2) + 2n -1
T(n)= T(n-3) + n-2 + n-1 + n = T(n-3)+ 3n -(2+1) 
.
.
.
T(n)= T(n-k) + n-(k-1) + n-(k-2) + ... + n = T(n-k) + K * n + (-1 -2 - ... -(k-2) -(k-1))= T(n-k) + kn - k(k-1)/2

您可以使用递归定理来证明它