简单：通过迭代法求解 T(n)=T(n-1)+n

Posted 2023-02-22

【中文标题】简单：通过迭代法求解 T(n)=T(n-1)+n

【英文标题】：Easy: Solve T(n)=T(n-1)+n by Iteration Method

【发布时间】：2012-11-20 09:57:55

【问题描述】：

有人可以帮我解决这个问题吗？

用迭代法求解。 T(n) = T(n-1) +n

非常感谢您解释步骤。

【问题讨论】：

您是否需要使用特定的编程语言，或者您要求的是伪代码？

伪代码..感谢您的即时回复！ :D

请阅读：meta.stackexchange.com/questions/10811/…

你熟悉递归吗？

@cruxi 不，我不是。不完全。

【参考方案1】：

T(n) = T(n-1) + n

T(n-1) = T(n-2) + n-1

T(n-2) = T(n-3) + n-2

以此类推，您可以将 T(n-1) 和 T(n-2) 的值代入 T(n) 以大致了解该模式。

T(n) = T(n-2) + n-1 + n

T(n) = T(n-3) + n-2 + n-1 + n
.
.
.

T(n) = T(n-k) + kn - k(k-1)/2    ...(1)

对于基本情况：

n - k = 1 so we can get T(1)

=> k = n - 1 代入（1）

  T(n) = T(1) + (n-1)n - (n-1)(n-2)/2

你可以看到的顺序是 n² => O(n²)。

【参考方案2】：

展开！

T(n) = T(n-1) + n = T(n-2) + (n-1) + n = T(n-3) + (n-2) + (n-1) + n

以此类推，直到

T(n) = 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2   [= O(n^2)]

前提是T(1) = 1

【讨论】：

你确定这是 O(n²) 吗？

@ralu 更准确地说，它是 Theta(n²)，因为 n² 从上方和下方限定了它。

【参考方案3】：

在伪代码中使用迭代：

function T(n) 
    int result = 0;

    for (i in 1 ... n) 
       result = result + i;
    

    return result;
    

【讨论】：

我想谢谢你，但它说我需要 15 个代表。谢谢你：D

【参考方案4】：

另一种解决方案：

T(n) = T(n-1) + n
     = T(n-2) + n-1 + n
     = T(n-3) + n-2 + n-1 + n
     // we can now generalize to k
     = T(n-k) + n-k+1 + n-k+2 + ... + n-1 + n
     // since n-k = 1 so T(1) = 1
     = 1 + 2 + ... + n    //Here 
     = n(n-1)/2
     = n^2/2 - n/2
     // we take the dominating term which is n^2*1/2 therefor 1/2 = big O
     = big O(n^2)

【参考方案5】：

简单方法：

T (n) = T (n - 1) + (n )-----------(1)
 //now submit T(n-1)=t(n)

T(n-1)=T((n-1)-1)+((n-1))
T(n-1)=T(n-2)+n-1---------------(2)

now submit (2) in (1) you will get
i.e T(n)=[T(n-2)+n-1]+(n)
T(n)=T(n-2)+2n-1 //simplified--------------(3)

 now, T(n-2)=t(n)
T(n-2)=T((n-2)-2)+[2(n-2)-1]
  T(n-2)=T(n-4)+2n-5---------------(4)
  now submit (4) in (2) you will get
   i.e T(n)=[T(n-4)+2n-5]+(2n-1)
  T(n)=T(n-4)+4n-6 //simplified
    ............
 T(n)=T(n-k)+kn-6
  **Based on General form T(n)=T(n-k)+k, **
  now, assume n-k=1 we know T(1)=1
            k=n-1

    T(n)=T(n-(n-1))+(n-1)n-6
    T(n)=T(1)+n^2-n-10
   According to the complexity 6 is constant

         So , Finally O(n^2)

【讨论】：

请不要复活陈旧的低质量问题。

我得到了一个简单的步骤来得到答案..我知道它太久了，但它不会复活@YSC

你真的杀了它：/“我们知道 T(1) = 0”？为了有 k=n-1 你需要有 T(1) = 1 因此 n-k=1 => k = n-1