求解递归 T(n) = T(n/2) + lg n？ [关闭]

Posted 2023-02-19

【中文标题】求解递归 T(n) = T(n/2) + lg n？ [关闭]

【英文标题】：Solving the recurrence T(n) = T(n/2) + lg n? [closed]

【发布时间】：2013-01-18 17:48:57

【问题描述】：

我在如何解决重复关系方面遇到了一些问题。

T(n) = T(n/2) + log2(n), T(1) = 1，其中 n 是 2 的幂

这是一道作业题，所以不要只给我答案。我只是想知道如何开始这个问题。

在课堂上我们讨论了the Master theorem。但我认为这不是解决这种特殊关系的最佳方式。

我真的不知道如何开始这个问题......我应该去吗

T(n) = T(n/2) + log_base2(n)
T(n/2) = [T(n/4)+log_base2(n/2)]
  T(n) = [T(n/4)+log_base2(n/2)] + log_base2(n) 

然后继续努力得到一些我可以看到的东西构成一个基本方程？

【问题讨论】：

这个问题似乎是题外话，因为它不是一个编程问题。试试 math.stackexchange.com。

这个问题与 Stack Overflow 无关，因为它与编程无关。数学问题可以在Mathematics Stack Exchange 提问。

我投票结束这个问题，因为它是关于数学，而不是编程。

Stack Overflow 是一个编程和开发问题的网站。这个问题似乎离题了，因为它与编程或开发无关。请参阅帮助中心的What topics can I ask about here。也许Mathematics Stack Exchange 会是一个更好的提问地点。

【参考方案1】：

此递归求解为 Θ((log n)²)。这里有两种查看方式。

一些替换

如果知道 n 是 2 的完美幂（即 n = 2^k），则可以将递归式改写为

T(2^k) = T(2^k-1) + k

让我们定义一个新的递归 S(k) = T(2^k)。然后我们就明白了

S(k) = S(k - 1) + k

如果我们扩展这个循环，我们就会得到它

S(k) = S(k - 1) + k

= S(k - 2) + (k - 1) + k

= S(k - 3) + (k - 2) + (k - 1) + k

= S(k - 4) + (k - 3) + (k - 2) + (k - 1) + k

...

= S(0) + 1 + 2 + 3 + ... + k

= S(0) + Θ(k²)

假设 S(0) = 1，则此递归求解为 Θ(k²)。

由于 S(k) = T(2^k) = T(n)，我们得到 T(n) = Θ(k²) = Θ(记录² n)。

迭代循环

这里的另一个选择是扩展递归的几个术语，看看是否出现了任何好的模式。这是我们得到的：

T(n) = T(n / 2) + lg n

= T(n / 4) + lg (n / 2) + lg n

= T(n / 8) + lg (n / 4) + lg (n / 2) + lg n

...

最终，在 lg n 层之后，这种循环触底，我们只剩下这个表达式：

lg n + lg (n / 2) + lg (n / 4) + ... + lg (n / 2^{lg n)}

利用对数的性质，我们可以将其重写为

lg n + (lg n - 1) + (lg n - 2) + (lg n - 3) + ... + (lg n - lg n)

或者，反过来写，就是总和

0 + 1 + 2 + 3 + ... + lg n

该总和是高斯对 lg n 的总和，其计算结果为 (lg n)(lg n + 1) / 2 = Θ((log n)2)。

希望这会有所帮助！

【讨论】：

您好先生，我无法在这里使用您的方法继续前进i.stack.imgur.com/6E3iB.png

不要在最后将所有日志术语组合在一起，而是将它们分开。使用 lg (n / 2^k) = lg n - k 的事实。

是的先生，我理解您的方法。您在上面的 qstn 中已经完成了 ..我只是想解决我给您图像的另一种方法 :) 感谢您的回复

哦，好的。分数的分子是 n^lg n。分母是 2^(lg n)(lg n + 1)/2。如果你然后应用对数的幂和商规则会发生什么？

先生，其实我得到了答案，谢谢:)

【参考方案2】：

如果 n 是 2 的幂，那么您可以扩展递归并精确求解，使用 lg(a/b) = lg(a) - lg(b)。

T(n) = lg(n) + lg(n/2) + lg(n/4) + ... + lg(1) + 1
     = (lg(n) - 0) + (lg(n) - 1) .... + (lg(n) - lg(n)) + 1
     = lg(n)*lg(n) - lg(n)*(lg(n)+1)/2 + 1
     = lg(n)*lg(n)/2 - lg(n)/2 + 1

【参考方案3】：

这可以通过 Akra-Bazzi 定理来完成。请参阅http://people.mpi-inf.mpg.de/~mehlhorn/DatAlg2008/NewMasterTheorem.pdf 中的第三个示例。

【参考方案4】：

这可以通过Master theorem 解决。您的 a=1 和 b=2 和 f(n) = log(n)。然后c = log2(1) = 0。由于您的c 和f(n)，您属于第二种情况（k=1）。

所以解是Θ(log² n)