递归关系：求解 T(n-1) 的大 O

Posted 2023-02-19

【中文标题】递归关系：求解 T(n-1) 的大 O

【英文标题】：Recurrence Relation: Solving Big O of T(n-1)

【发布时间】：2011-03-14 13:07:12

【问题描述】：

我正在为 Big O 解决一些递归关系问题，到目前为止，我只遇到过涉及这种形式的递归关系：

T(n) = a*T(n/b) + f(n)

对于以上内容，我很容易找到大 O 符号。但是我最近被抛出了一个带有以下等式的曲线球：

T(n) = T(n-1) + 2

我不太确定如何为 Big O 解决这个问题。我实际上已经尝试将方程式插入如下：

T(n) = T(n-1) + 2
T(n-1) = T(n-2)
T(n-2) = T(n-3)

我不完全确定这是否正确，但我遇到了困难，需要一些帮助。谢谢！

【参考方案1】：

既然问题已经回答了，让我在如何找到递归的复杂性背后添加一些直觉。

主定理仅适用于分而治之类型的递归，例如T(n) = a*T(n/b) + f(n)，其中a是子问题的数量，每个子问题的大小都是原始问题的1/b。但是重复T(n) = T(n-1) + 2 在技术上并没有将问题“划分”为子问题。所以主定理在这里不适用。 如果我们仔细观察循环，很明显它超过了n 步骤，并且每一步都需要恒定的时间，在这种情况下是2。所以复杂度是O(n)。

我特别发现第二种直觉对大多数重复（可能不是全部）非常有帮助。举个例子，你可以尝试类似的重复T(n) = T(n-1) + n，其复杂性当然是O(n^2)。

【参考方案2】：

假设 T(1) = 0

T(n) = T(n-1) + 2
 = (T(n-2) + 2) + 2
 = T(n-2) + 4
 = (T(n-3) + 2) + 4
 = T(n-3) + 6
 = T(n-k) + 2k

将 k 设置为 n-1，你就有了

T(n) = 2n - 2

因此，它是 O(n)

【讨论】：

@AndreasJansson 我在前两个步骤中没有遵循您的代数。您声称 $T(n-1) + 2 = (T(n-2) + 2) + 2$ 但我不明白您是如何得出这个结论的。问题中没有任何迹象表明这一点，那么你怎么能做出这个假设呢？如果 $T(2) = 10000000000000000$ 我们不知道怎么办，你怎么能假设它不是呢？

@ripDaddy69 如果我们将 (n-1) 代入原始 T(n) 中，我们得到 T(n-1) = T(n-2) + 2。对吗？现在，如果我们将第一行的 T(n-1) 替换为 T(n-2)+2，我们将得到第二行。

【参考方案3】：

T(n) = 2*n = 2*(n-1)+2 = T(n-1)+2

所以 T(n) = 2*n 这意味着 O(n)