蓝桥杯 波动数列 01背包

Posted 2020-10-28 Go

借鉴自：https://blog.csdn.net/wr132/article/details/43861145　　https://blog.csdn.net/linqing360/article/details/79653002

题目大意：

问题描述

　　观察这个数列：
　　1 3 0 2 -1 1 -2 ...

　　这个数列中后一项总是比前一项增加2或者减少3。

　　栋栋对这种数列很好奇，他想知道长度为 n 和为 s 而且后一项总是比前一项增加a或者减少b的整数数列可能有多少种呢？

输入格式

　　输入的第一行包含四个整数 n s a b，含义如前面说述。

输出格式

　　输出一行，包含一个整数，表示满足条件的方案数。由于这个数很大，请输出方案数除以100000007的余数。

样例输入

4 10 2 3

样例输出

2

样例说明

　　这两个数列分别是2 4 1 3和7 4 1 -2。

数据规模和约定

　　对于10%的数据，1<=n<=5，0<=s<=5，1<=a,b<=5；
　　对于30%的数据，1<=n<=30，0<=s<=30，1<=a,b<=30；
　　对于50%的数据，1<=n<=50，0<=s<=50，1<=a,b<=50；
　　对于70%的数据，1<=n<=100，0<=s<=500，1<=a, b<=50；
　　对于100%的数据，1<=n<=1000，-1,000,000,000<=s<=1,000,000,000，1<=a, b<=1,000,000

基本思路：

首先要说，这道题是一道DP。

虽然之前也注意到数据范围很大，但因为一开始就想的是搜索，所以就各种搜索剪枝，实际上都是徒劳。

像这种简单的DP题目一般都有两个特点：

1.长得和搜索题很像，甚至就能用搜索做

2.有一个大的吓人的数据

看清这两点，明确了思路，下面开始进入分析阶段：

 

1.按照题目要求，最终得到的序列的长度为n，和为s，并且后一项是前一项加a或减b，我们不妨将这个操作封装在一起，记作P操作，即P=(a,-b)。

 

2.设首项为x，可以得到一个等式x+(x+P)+(x+2P)+...+(x+(n-1)P)=s，将这个式子整理一下，就是nx+P+2P+...+(n-1)P=s，即(s-(P+2P+...+(n-1)P))/n=x。

 

3.由题意，x肯定是一个整数，并且由于每一个P代表一个a或者一个-b，所以a和b的总数为n*(n-1)/2，也就是说只要确定了a的个数，那么b的个数也就确定了。

 

4.关键问题是对于一个确定的a的个数，方案不只有一种，而且a的个数肯定是由（1,2,3,...,n-1）这其中的若干项组成的，，我们把这些项看作元素，第i个元素的权值为i于是，下面就开始构造递推方程

 

5.首先，定义一个数组dp[i][j]，表示前i个元素组成和为j的序列的方案数，这里的和j表示的是所有的a的和，很明显当i!=0时dp[i][0]=1,当j!=0时dp[0][j]=0，然后我们要分两种情况讨论

(1)、i>j时，因为每一个元素i权值都是i，所以当元素的个数大于和的时候，第i个元素的权值已经超过了和，所以第i个元素绝对不能使用，即dp[i][j]=dp[i-1][j]。

(2)、i<=j时，第i个元素的权值是小于等于和的，所以可以用，也可以不用，如果不用，那么就是dp[i-1][j]，如果用，就是dp[i-1][j-i]，这个有点类似于01背包，所以

dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i-1][j-i]

6.既然类似01背包，那么01背包的一维数组空间优化一下，然后尽量少做乘法，这里修一修，那里改一改，这题就险过了。

代码如下：

#include<iostream>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1000000+10;
const int mod = 100000000+7;
ll dp[500000+10];
int main(){
    ll n,s,a,b;
    cin>>n>>s>>a>>b;
    dp[0]=1;
    for(int i=1;i<n;i++){
        for(int j=i*(i+1)/2;j>=i;j--){
            dp[j]=(dp[j-i]+dp[j])%mod;
        }
    }
    ll div=(n-1)*n/2;
    ll sum=s+div*b;
    ll dir=a+b;
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<=div;i++){
        if(sum%n==0){
            ans=(ans+dp[i])%mod;
        }
        sum-=dir;
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}