欧拉回路与欧拉路径

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了欧拉回路与欧拉路径相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

概念

欧拉路径指一条所有边都经过且只有一次的路径
如果起点和终点相同就是欧拉回路

判定

有向图:所有点连通,且入度都等于出度,则有欧拉回路
无向图:所有点连通,且度数为偶数,则有欧拉回路
显然欧拉回路删掉一条边就是欧拉路径
那么欧拉路径中有且只有两个不符合欧拉回路要求的点,并且相连后就满足了

算法

求欧拉路径就把不满足的点连起来,求欧拉回路后删掉这条边就好了

无向图

\(dfs\),标记走过的边以及反边,走过就不走
每次回溯时记录边,这些边依次构成欧拉回路

有向图

边反向,\(dfs\)标记走过的边,每次回溯时记录边,这些边依次构成欧拉回路

都差不多,然后可以当前弧优化

正确性

除了第一个点外,其它的点\(dfs\)是一定是入边出边成对出现
所以第一次加入答案的边一定是第一个点的入边
回溯时这个点又会多走一条出边,那么下次加入的一定是又是这个点的入边
归纳下去,一定会形成一条回路

代码

\(UOJ\)模板

# include <bits/stdc++.h>
# define RG register
# define IL inline
# define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int _(4e5 + 5);
typedef int Arr[_];

IL int Input(){
    RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar();
    for(; c < '0' || c > '9'; c = getchar()) z = c == '-' ? -1 : 1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
    return x * z;
}

Arr first, cur, vis, ans, rd, od;
int n, m, cnt, num;
struct Edge{
    int to, next, id;
} edge[_];

IL void Add1(RG int u, RG int v, RG int id){
    ++rd[u], ++rd[v];
    edge[cnt] = (Edge){v, first[u], id}, first[u] = cnt++;
    edge[cnt] = (Edge){u, first[v], -id}, first[v] = cnt++;
}

IL void Dfs1(RG int u){
    for(RG int &e = cur[u]; e != -1; e = edge[e].next){
        if(vis[e]) continue;
        RG int tmp = e; vis[e] = vis[e ^ 1] = 1;
        Dfs1(edge[e].to);
        ans[++num] = edge[tmp ^ 1].id;
        if(e == -1) return;
    }
}

IL void Work1(){
    Fill(first, -1), n = Input(), m = Input();
    for(RG int i = 1, u, v; i <= m; ++i) u = Input(), v = Input(), Add1(u, v, i);
    for(RG int i = 1; i <= n; ++i){
        cur[i] = first[i];
        if(rd[i] & 1){
            puts("NO");
            return;
        }
    }
    for(RG int i = 1; i <= n; ++i)
        if(rd[i]){
            Dfs1(i);
            break;
        }
    if(num != m){
        puts("NO");
        return;
    }
    puts("YES");
    for(RG int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d ", ans[i]);
    puts("");
}

IL void Add2(RG int u, RG int v, RG int id){
    ++rd[v], ++od[u];
    edge[cnt] = (Edge){v, first[u], id}, first[u] = cnt++;
}

IL void Dfs2(RG int u){
    for(RG int &e = cur[u]; e != -1; e = edge[e].next){
        if(vis[e]) continue;
        RG int tmp = e; vis[e] = 1;
        Dfs2(edge[e].to);
        ans[++num] = edge[tmp].id;
        if(e == -1) return;
    }
}

IL void Work2(){
    Fill(first, -1), n = Input(), m = Input();
    for(RG int i = 1, u, v; i <= m; ++i) u = Input(), v = Input(), Add2(v, u, i);
    for(RG int i = 1; i <= n; ++i){
        cur[i] = first[i];
        if(rd[i] != od[i]){
            puts("NO");
            return;
        }
    }
    for(RG int i = 1; i <= n; ++i)
        if(od[i]){
            Dfs2(i);
            break;
        }
    if(num != m){
        puts("NO");
        return;
    }
    puts("YES");
    for(RG int i = 1; i <= m; ++i) printf("%d ", ans[i]);
    puts("");
}

int main(RG int argc, RG char *argv[]){
    Input() == 1 ? Work1() : Work2();
    return 0;
}

以上是关于欧拉回路与欧拉路径的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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