欧拉回路与欧拉路 之 一笔画问题

Posted 2020-09-09 Nico&11101001

一笔画问题

　　如果一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。

　　我们定义奇点是指跟这个点相连的边数目有奇数个的点。对于能够一笔画的图，我们有以下两个定理。

定理1：存在欧拉路的条件：图是连通的，有且只有2个奇点。

定理2：存在欧拉回路的条件：图是连通的，有0个奇点。

两个定理的正确性是显而易见的，既然每条边都要经过一次，那么对于欧拉路，除了起点和终点外，每个点如果进入了一次，显然一定要出去一次，显然是偶点。对于欧拉回路，每个点进入和出去次数一定都是相等的，显然没有奇点。

一笔画性质：

■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

　　求欧拉路的算法很简单，使用深度优先遍历即可。

　　根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行DFS，时间复杂度为O(m+n)，m为边数，n是点数。

l样例输入:第一行n，m，有n个点，m条边，以下m行描述每条边连接的两点。

l    5 5

l    1 2

l    2 3

l    3 4

l    4 5

l    5 1

l样例输出:欧拉路或欧拉回路

l    1 5 4 3 2 1

 

欧拉路：

 1 //欧拉路 
 2 
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstdio>
 5 using namespace std;
 6 int maps[1001][1001];
 7 int flag[1001];
 8 int tot,n,m;
 9 int ans[1001],p=0;
10 void dfs(int num){
11     for(int i=1;i<=m;i++)
12     if(maps[num][i]==1)
13     {
14         maps[num][i]=0;
15         maps[i][num]=0;
16         dfs(i);
17         ans[++p]=i;
18     }
19 }
20 int main()
21 {
22     int a,b,flag1=0,start=1;
23     scanf("%d%d",&m,&n);
24     for(int i=1;i<=n;i++)
25     {
26         scanf("%d%d",&a,&b);
27         maps[a][b]=1;
28         maps[b][a]=1;
29         flag[a]++;
30         flag[b]++;
31     }
32     for(int i=1;i<=n;i++)
33     {
34         if(flag[i]%2!=0)
35         {
36             if(flag1==0)
37             start=i;
38             flag1++;
39         }
40         if(flag1>2)
41         {
42             printf("Impossible");
43             return 0;
44         }
45     }
46     dfs(start);//必须从奇点开始搜 
47     for(int i=1;i<=p;i++)
48     printf("%d ",ans[i]);
49     return 0;    
50 }

欧拉回路：

 

似乎比欧拉路还水：从1开始搜的；

 1 //欧拉回路 
 2 
 3 #include<iostream>
 4 #include<cstdio>
 5 using namespace std;
 6 int maps[1001][1001];
 7 int flag[1001];
 8 int n,m;
 9 int ans[1001],p=0;
10 void dfs(int num){//搜哦搜 
11     for(int i=1;i<=m;i++)
12     if(maps[num][i]==1)
13     {
14         maps[num][i]=0;
15         maps[i][num]=0;
16         dfs(i);
17         ans[++p]=i;
18     }
19 }
20 int main()
21 {
22     int a,b,flag1=0;
23     scanf("%d%d",&m,&n);
24     for(int i=1;i<=n;i++)
25     {
26         scanf("%d%d",&a,&b);
27         maps[a][b]=1;
28         maps[b][a]=1;
29         flag[a]++;
30         flag[b]++;
31     }
32     for(int i=1;i<=n;i++)
33     {
34         if(flag[i]%2!=0)
35         {
36             printf("Impossible");
37             return 0;
38         }
39     }
40     dfs(1);//满足的话从哪个点搜都可以； 
41     for(int i=1;i<=p;i++)
42     printf("%d ",ans[i]);
43     printf("%d ",1);
44     return 0;    
45 }