高尔顿钉板与二项分布

Posted 2020-10-27 tianyu-hua

今天数学课上老师说高尔顿钉板符合高斯分布，然而直觉告诉我这是二项分布，只是二项分布的概率密度函数可以用高斯分布近似而已，其实和高斯分布(正态分布)没什么关系。

上图是书上的原图，如果我们把它的结构抽象成树的形式，就是下图，其中小球落入最上面孔的概率是1，从最上面落入下面两个子节点的概率分别为1/2，子节点同样的分为1/4和1/4。而第三排第二个节点处，球可以从其两个父节点落入，所以落入【3,2】的概率是两个1/4的和,即1/2 。总结规律，我们可以看到，这棵树的每一个节点都是父节点（有的只有一个，比如边上两排，有的有两个比如中间的节点）的和的1/2 。比如第四排第二个的权重3/8就是其父节点1/4以及1/2的和的一半，第四排最后一个节点是其父节点1/4的一半，1/8 。

到这里，我不禁想起了杨辉三角，它的每个节点都是父节点的和。如下图所示。

而我们知道，杨辉三角的每排的表示方法是用的二项展开式。上图的第四排就可以看成C₃⁰, C₃¹, C₃² , C₃³
而我们的高尔顿板，每次相加之后还要除以2，于是在C_n^k的基础上，我们要把它的每项除以2ⁿ

= C_n^k(1/2)^k·(1/2)^n-k
于是我们可以得出结论，高尔顿板的结果是X～B(n, 1/2)，服从二项分布。