BZOJ1426: 收集邮票 期望DP

Posted 2020-10-26 ONION_CYC

【题意】有n种不同的邮票，第i次可以花i元等概率购买到一种邮票，求集齐n种邮票的期望代价。n<=10^4。

【算法】期望DP

【题解】首先设g[i]表示已拥有i张邮票集齐的期望购买次数，根据全期望公式，可以依赖于买到已集和未集邮票的情况：

$$g[i]=\\frac{i}{n}*g[i]+\\frac{n-i}{n}*g[i+1]+1$$

当然最后记得+1，然后移项解方程。

设f[i]表示已拥有i张邮票及其的期望代价，会发现因为是倒推，所以代价的问题变得很麻烦。

我们将代价倒置，假设购买k次，那么第一张k元……第k张1元，那么就会发现代价变成了集齐的期望购买次数。

根据全期望公式：

$$f[i]=\\frac{i}{n}*(f[i]+g[i])+\\frac{n-i}{n}*(f[i+1]+g[i+1])+1$$

然后移项解方程即可。

复杂度O(n)。

也可以直观地设计状态（不倒置代价），然后计算无穷：DaD3zZ。

#include<cstdio>
double f[10010],g[10010],n;
int main()
{
    scanf("%lf",&n); 
    for(int i=n-1;i>=0;i--)f[i]=f[i+1]+n/(n-i);
    for(int i=n-1;i>=0;i--)g[i]=g[i+1]+f[i+1]+i*f[i]/(n-i)+n/(n-i);
    printf("%.2lf",g[0]);
    return 0;
}

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