迪杰斯特拉Dijkstra算法介绍

Posted 2020-10-25 AlanTu

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。 
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

基本思想

     通过Dijkstra计算图G中的最短路径时，需要指定起点s(即从顶点s开始计算)。

     此外，引进两个集合S和U。S的作用是记录已求出最短路径的顶点(以及相应的最短路径长度)，而U则是记录还未求出最短路径的顶点(以及该顶点到起点s的距离)。

     初始时，S中只有起点s；U中是除s之外的顶点，并且U中顶点的路径是"起点s到该顶点的路径"。然后，从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 然后，再从U中找出路径最短的顶点，并将其加入到S中；接着，更新U中的顶点和顶点对应的路径。 ... 重复该操作，直到遍历完所有顶点。

操作步骤

(1) 初始时，S只包含起点s；U包含除s外的其他顶点，且U中顶点的距离为"起点s到该顶点的距离"[例如，U中顶点v的距离为(s,v)的长度，然后s和v不相邻，则v的距离为∞]。

(2) 从U中选出"距离最短的顶点k"，并将顶点k加入到S中；同时，从U中移除顶点k。

(3) 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离，是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点，从而可以利用k来更新其它顶点的距离；例如，(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。

(4) 重复步骤(2)和(3)，直到遍历完所有顶点。

单纯的看上面的理论可能比较难以理解，下面通过实例来对该算法进行说明。

迪杰斯特拉算法图解

以上图G4为例，来对迪杰斯特拉进行算法演示(以第4个顶点D为起点)。

初始状态：S是已计算出最短路径的顶点集合，U是未计算除最短路径的顶点的集合！ 
第1步：将顶点D加入到S中。 
    此时，S={D(0)}, U={A(∞),B(∞),C(3),E(4),F(∞),G(∞)}。     注:C(3)表示C到起点D的距离是3。

第2步：将顶点C加入到S中。 
    上一步操作之后，U中顶点C到起点D的距离最短；因此，将C加入到S中，同时更新U中顶点的距离。以顶点F为例，之前F到D的距离为∞；但是将C加入到S之后，F到D的距离为9=(F,C)+(C,D)。 
    此时，S={D(0),C(3)}, U={A(∞),B(23),E(4),F(9),G(∞)}。

第3步：将顶点E加入到S中。 
    上一步操作之后，U中顶点E到起点D的距离最短；因此，将E加入到S中，同时更新U中顶点的距离。还是以顶点F为例，之前F到D的距离为9；但是将E加入到S之后，F到D的距离为6=(F,E)+(E,D)。 
    此时，S={D(0),C(3),E(4)}, U={A(∞),B(23),F(6),G(12)}。

第4步：将顶点F加入到S中。 
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6)}, U={A(22),B(13),G(12)}。

第5步：将顶点G加入到S中。 
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12)}, U={A(22),B(13)}。

第6步：将顶点B加入到S中。 
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13)}, U={A(22)}。

第7步：将顶点A加入到S中。 
    此时，S={D(0),C(3),E(4),F(6),G(12),B(13),A(22)}。

此时，起点D到各个顶点的最短距离就计算出来了：A(22) B(13) C(3) D(0) E(4) F(6) G(12)。

迪杰斯特拉算法的代码说明

以"邻接矩阵"为例对迪杰斯特拉算法进行说明，对于"邻接表"实现的图在后面会给出相应的源码。

1. 基本定义

// 邻接矩阵
typedef struct _graph
{
    char vexs[MAX];       // 顶点集合
    int vexnum;           // 顶点数
    int edgnum;           // 边数
    int matrix[MAX][MAX]; // 邻接矩阵
}Graph, *PGraph;

// 边的结构体
typedef struct _EdgeData
{
    char start; // 边的起点
    char end;   // 边的终点
    int weight; // 边的权重
}EData;

Graph是邻接矩阵对应的结构体。 
vexs用于保存顶点，vexnum是顶点数，edgnum是边数；matrix则是用于保存矩阵信息的二维数组。例如，matrix[i][j]=1，则表示"顶点i(即vexs[i])"和"顶点j(即vexs[j])"是邻接点；matrix[i][j]=0，则表示它们不是邻接点。 
EData是邻接矩阵边对应的结构体。

2. 迪杰斯特拉算法

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<malloc.h>
#include<string.h>
#define MAX 100
#define INF (~(0x1<<31))
typedef struct Graph
{
    char vexs[MAX];
    int vexnum;
    int edgnum;
    int matrix[MAX][MAX];
} Graph,*PGraph;

typedef struct EdgeData
{
    char start;
    char end;
    int weight;
} EData;

static int get_position(Graph g,char ch)
{
    int i;
    for(i=0; i<g.vexnum; i++)
        if(g.vexs[i]==ch)
            return i;
    return -1;
}

Graph* create_graph()
{
    char vexs[]= {\'A\',\'B\',\'C\',\'D\',\'E\',\'F\',\'G\'};
    int matrix[][7]=
    {
        {0,12,INF,INF,INF,16,14},
        {12,0,10,INF,INF,7,INF},
        {INF,10,0,3,5,6,INF},
        {INF,INF,3,0,4,INF,INF},
        {INF,INF,5,4,0,INF,8},
        {16,7,6,INF,2,0,9},
        {14,INF,INF,INF,8,9,0}
    };
    int vlen=sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);
    int i,j;
    Graph *pG;
    if((pG=(Graph*)malloc(sizeof(Graph)))==NULL)
        return NULL;
    memset(pG,0,sizeof(pG));
    pG->vexnum=vlen;
    for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
        pG->vexs[i]=vexs[i];
    for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
        for(j=0; j<pG->vexnum; j++)
            pG->matrix[i][j]=matrix[i][j];
    for(i=0; i<pG->vexnum; i++)
    {
        for(j=0; j<pG->vexnum; j++)
        {
            if(i!=j&&pG->matrix[i][j]!=INF)
                pG->edgnum++;
        }
    }
    pG->edgnum/=2;
    return pG;
}

void print_graph(Graph G)
{
    int i,j;
    printf("Matrix Graph: \\n");
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
    {
        for(j=0; j<G.vexnum; j++)
            printf("%10d ",G.matrix[i][j]);
        printf("\\n");
    }
}

EData* get_edges(Graph G)
{
    EData *edges;
    edges=(EData*)malloc(G.edgnum*sizeof(EData));
    int i,j;
    int index=0;
    for(i=0; i<G.vexnum; i++)
    {
        for(j=i+1; j<G.vexnum; j++)
        {
            if(G.matrix[i][j]!=INF)
            {
                edges[index].start=G.vexs[i];
                edges[index].end=G.vexs[j];
                edges[index].weight=G.matrix[i][j];
                index++;
            }
        }
    }
    return edges;
}

void dijkstra(Graph G,int vs,int prev[],int dist[])
{
    int i,j,k;
    int min;
    int tmp;
    int flag[MAX];

    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
    {
        flag[i]=0;
        prev[i]=vs;
        dist[i]=G.matrix[vs][i];
    }

    flag[vs]=1;
    dist[vs]=0;

    for(i=1;i<G.vexnum;i++)
    {
        min=INF;
        for(j=0;j<G.vexnum;j++)
        {
            if(flag[j]==0&&dist[j]<min)
            {
                min=dist[j];
                k=j;
            }
        }
        flag[k]=1;
        for(j=0;j<G.vexnum;j++)
        {
            tmp=((G.matrix[k][j]==INF)?INF:(min+G.matrix[k][j]));
            if(flag[j]==0&&tmp<dist[j])
            {
                dist[j]=tmp;
                prev[j]=k;
            }
        }
    }
    printf("dijktra(%c):\\n",G.vexs[vs]);
    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
        printf(" shortest (%c,%c)=%d\\n",G.vexs[vs],G.vexs[i],dist[i]);
}


int main()
{
    Graph *pG;
    pG=create_graph();
    print_graph(*pG);
    int prev[MAX];
    int dist[MAX];
    dijkstra(*pG,3,prev,dist);
    int i;
    for(i=0;i<pG->vexnum;i++)
        printf("%c %c \\n",pG->vexs[prev[i]],pG->vexs[i]);
}

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