动态规划之最长递增子序列（LIS）

Posted 2020-10-24 yuxiaoba

       在一个已知的序列{ a1,a2,……am}中，取出若干数组成新的序列{ ai1, ai2,…… aim},其中下标 i1,i2, ……im保持递增，即新数列中的各个数之间依旧保持原数列中的先后顺序，那么称{ ai1, ai2,……aim}为原序列的一个子序列。若在子序列中，当下标 ix > iy时，aix > aiy，那么称其为原序列的一个递增子序列。最长递增子序列问题就是在一个给定的原序列中，求得其最长递增子序列的长度。

      求最长递增子序列的递推公式为：

               F(1) = 1;

               F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj<ai && j<i}  

 

拦截导弹

 

题目描述

 

某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的高度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后面的导弹，再拦截前面的导弹。 

输入描述:

每组输入有两行，
第一行，输入雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25），
第二行，输入k个正整数，表示k枚导弹的高度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。

输出描述:

每组输出只有一行，包含一个整数，表示最多能拦截多少枚导弹。

示例1

输入

8
300 207 155 300 299 170 158 65

输出

6

解题思路：要求最多能拦截多少枚导弹，即在按照袭击顺序排列的导弹高度中求其最长不增子序列。其中

                              F(1) = 1;

                              F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj>=ai && j<i}  

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<stdlib.h>
 3 
 4 int list[26];  //按顺序保存导弹高度
 5 int dp[26];   //保存以第i个导弹结尾的最长不增长序列长度
 6 int max( int a,int b)
 7 {
 8     //选取最大值
 9     return a>b? a:b;
10 }
11 int main()
12 {
13     int n;
14     int tmax,ans;
15     int i,j;
16     while( scanf("%d",&n)!=EOF)
17     {
18         for( i=1; i<=n; i++)
19         {
20             scanf("%d",&list[i]);
21             dp[i] = 0;
22         }
23         for( i=1; i<=n; i++)
24         {
25             tmax = 1;  //最长不增长子序列长度至少为1
26             for( j=1; j<i; j++)  //遍历其前所有导弹高度
27             {
28                 if( list[j]>=list[i])   //若j号导弹不比当前导弹低
29                 {
30                     tmax = max( tmax,dp[j]+1);
31                 }
32             }
33             dp[i] = tmax;
34         }
35         ans = 1;
36         for( i=1; i<=n; i++)
37             ans = max( ans, dp[i]);
38         printf("%d\n",ans);
39     }
40 
41     return 0;
42 }