给出 $n$ 个赛车赛道和A、B、C三种赛车,除了 $d$ 个赛道可以使用所有三种赛车以外每个都只能使用给出的两种之一。另外给出 $m$ 条限制:某个赛道使用X则某另一个赛道必须使用Y。问:是否存在一种方案满足所有条件?输出一种合法方案。
$n]le 50000,d\le 8,m\le 100000$ 。
题解
2-SAT
3-SAT是NP完全问题,由于 $d$ 只有 $8$ ,因此考虑枚举每个万能位置的取值,转化为2-SAT问题。
那么对于一条限制,显然描述对应着一条边;另外一个命题的逆否命题,因此则有:第二个不用Y,第一个就不能用X,还要连这样的边(考场上没有想到对称边,还以为标算不是2-SAT)。
特殊情况:
第一个没有X,则无视这条边;
第二个没有Y,则第一个不能选X,第一个选X向不选X连边。
然后跑tarjan,对立点在同一强连通分量里则不成立,否则有解。缩点建新图跑拓扑排序,对立点中先排到的点不选,后排到的选。
这里有一个小trick:tarjan中强连通分量的编号顺序就是逆拓扑序(考虑tarjan的过程,挺好理解的),因此不用实际拓扑排序,直接比较对立点所属强连通分量编号即可,较小的那个是相应方案。
这样枚举万能位置的选择,每个位置有三种情况。考虑到枚举万能位置不能选什么,一次可以选出两种,只需要枚举两种情况。
时间复杂度 $O(2^dm)$
#include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define N 100010 using namespace std; int n , m , flag , px[N] , vx[N] , py[N] , vy[N] , head[N] , to[N << 1] , next[N << 1] , cnt , deep[N] , low[N] , tot , ins[N] , sta[N] , top , bl[N] , num; char str[N >> 1] , sx[3] , sy[3]; inline void add(int x , int y) { to[++cnt] = y , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt; } inline int getid(int p , int v) { if(str[p] == ‘a‘) return v == 0 ? 0 : p * 2 + v - 1; else if(str[p] == ‘b‘) return v == 1 ? 0 : p * 2 + v / 2; else return v == 2 ? 0 : p * 2 + v; } void tarjan(int x) { int i; deep[x] = low[x] = ++tot , ins[x] = 1 , sta[++top] = x; for(i = head[x] ; i ; i = next[i]) { if(!deep[to[i]]) tarjan(to[i]) , low[x] = min(low[x] , low[to[i]]); else if(ins[to[i]]) low[x] = min(low[x] , deep[to[i]]); } if(deep[x] == low[x]) { int t; num ++ ; do { t = sta[top -- ]; ins[t] = 0 , bl[t] = num; }while(t != x); } } void solve() { int i , x , y; memset(head , 0 , sizeof(head)); memset(deep , 0 , sizeof(deep)); cnt = tot = top = num = 0; for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) { x = getid(px[i] , vx[i]) , y = getid(py[i] , vy[i]); if(x) { if(y) add(x , y) , add(y ^ 1 , x ^ 1); else add(x , x ^ 1); } } for(i = 2 ; i <= 2 * n + 1 ; i ++ ) if(!deep[i]) tarjan(i); for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) if(bl[i << 1] == bl[i << 1 | 1]) return; flag = 1; for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) { if(str[i] == ‘a‘) putchar(bl[i << 1] < bl[i << 1 | 1] ? ‘B‘ : ‘C‘); else if(str[i] == ‘b‘) putchar(bl[i << 1] < bl[i << 1 | 1] ? ‘A‘ : ‘C‘); else putchar(bl[i << 1] < bl[i << 1 | 1] ? ‘A‘ : ‘B‘); } puts(""); } void dfs(int x) { if(flag) return; if(x > n) { solve(); return; } if(str[x] == ‘x‘) str[x] = ‘a‘ , dfs(x + 1) , str[x] = ‘b‘; dfs(x + 1); } int main() { int i; scanf("%d%*d%s%d" , &n , str + 1 , &m); for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) scanf("%d%s%d%s" , &px[i] , sx , &py[i] , sy) , vx[i] = sx[0] - ‘A‘ , vy[i] = sy[0] - ‘A‘; dfs(1); if(!flag) puts("-1"); return 0; }