二分图定理及证明

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了二分图定理及证明相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

最小顶点覆盖

定义:能覆盖所有的边的最少顶点数(或是最小点权和)
计算方法:最小顶点覆盖 = 最大匹配数

最大独立集

定义:两两互不相邻的点组成的集合的最大点数(或是最大点权和)
计算方法:最大独立集 = 点总数 - 最小顶点覆盖
例题:方格取数问题(https://daniu.luogu.org/problemnew/show/2774

我们以最大点权和(最大独立集就是点权全为1)为例证明:
一个二分图集合{X}、{Y},
[1> 从S向{X}连一条流量为点权的边。
[2> 从{Y}向T连一条流量为点权的边。
[3> 把 不能相邻或同时选的两点 之间连接一条流量为INF的边。
那么答案 = 所有点点权和 - 此二分图的最小割。
显然当S与T联通时,说明有不合法的选点。
那么对于任意一个不合法选点,要么断掉(S - {X})这条边,要么断掉({Y} - T)这条边。
这不就是最小割吗,最小割=最大流=最小顶点覆盖,即得证。

最小路径覆盖

定义:能覆盖所有点的最少路径数 [不要求为二分图]
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如此图的最小路径覆盖为3。
为1->3->4->6与2与5->7。(注:每个点只能到一次)。

计算方法1:最小路径覆盖 = 最大流的最小费用(特殊建图)
例题:[SDOI2010]星际竞速( https://www.luogu.org/problemnew/show/P2469
证明1:用最小费用流证明:
把每一个点拆成 i 与 i‘ ,形成一个二分图,如下连边:
[1> 从S向{i}连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[2> 从{i‘}向T连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[3> 如果a-->b在原图上有边,那么a 到 b‘ 连一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[4> 从S向{i‘}连一条 \(cap=1,cost=1\) 的边。
那么此时,每条S-->i‘的边就对应选择了一条路径,费用为1,等于选择了一个起点。
最终的最少路径数为:此图的最小费用最大流的费用值。

所求为路径权值最小时,做法一样,只需把
[4> 中连边的边的cost设为对应的从某点出发代价。
[3> 中连边的代价设为对应的路径长度。
然后一样的跑最小费用最大流,答案为最终跑出来的费用。(这个变式详见例题)

计算方法2:最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数(特殊建图)
证明2:用最大流证明:
把每一个点拆成i 与 i‘ ,形成一个二分图,只连接法一中的[1>、[2>、[3>的边。
[1> 从S向{i}连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[2> 从{i‘}向T连接一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
[3> 如果a-->b在原图上有边,那么a 到 b‘ 连一条 \(cap=1,cost=0\) 的边。
然后显然每一个点会优先尝试由S流通到T,但由于[3>中cap=1的限制,有些点流通不了。
那么剩下的这些点只能作为起点 。
所以求最大匹配即求最多可流通点数,剩下的点只能作为路径起点,即为选择了一条路径。
即证毕。

最大权闭合子图

定义:给定一个有向图,从中选择一些点组成一个点集V。对于V中任意一个点,其后续节点都仍然在V中。
计算方法:最大权=所有正点和-最小割
例题:太空飞行计划问题(https://www.luogu.org/problemnew/show/2762

证明:
一般来说,这类问题都与最佳收益有关。
这里就以这个为例,假设实验集合{X}的点选择会有收益,器材集合{Y}的点选择会有损失。
但是要选择Xi则必须选择{Ya , Yb , ....}一个{Y}的集合。问最大收益? (同例题)
我们假设{X}中的所有收益都获取到了。
那么最终答案为 总收益 - 总损失,现在我们只需要最小化总损失。
我们如下连边:
[1> 从S向{X}连一条 流量限制 为收益的边。
[2> 从{Y}向T连一条 流量限制 为损失的边。
[3> 若选Xi必须要选Yj,那么由Xi向Yj连一条 流量限制 为INF的边。
那么最小损失就是最小割。
我们可以这么理解:S表示选择,T表示不选择。
一个东西不能既选又不选,所以S->X 与 Y->T的其中一条边是一定要断掉的。
[A> 如果割掉S->X的边,则实验Xi被划分到了 不选(T) 中去,损失为实验收益(没有进行此实验,无收益)
[B> 如果割掉Y->T的边,则器材Yi被划分到了 选择(S) 中,损失为器材费用(购买了此器材)
所以当割掉最小割时,达到最优的平衡状态,为最大权闭合子图的补集。
即证毕。

以上是关于二分图定理及证明的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

二分图定理的一些证明:

Learning最小点覆盖(二分图匹配) 与Konig定理证明

二分图konig定理证明

Konig定理及证明

Hall定理 二分图完美匹配

二分图中的最大匹配数等于最小点覆盖数的证明