Learning最小点覆盖(二分图匹配) 与Konig定理证明

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Learning最小点覆盖(二分图匹配) 与Konig定理证明相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

(附一道例题) 

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Description

  最小点覆盖是指在二分图中,用最小的点集覆盖所有的边。当然,一个二分图的最小点覆盖可能有很多种。

  现在给定一个二分图,请你把图中的点分成三个集合:

  如果在任何一种最小点覆盖中都不包含这个点,则认为该点属于N集合。

  如果在任何一种最小点覆盖中都包含这个点,则认为该点属于A集合。

  如果一个点既不属于N集合,又不属于A集合,则认为该点属于E集合。

Input

  第一行包含三个整数n, m, k,分别表示二分图A侧点的数量,二分图B侧点的数量,边的数量。

  接下来k行,每行两个整数i, j,分别表示二分图A侧第i号点与二分图B侧第j号点有连边。

  数据保证无重边。

Output

  第一行输出一个长度为n的字符串,其中第i个字符表示二分图A侧第i个点所属的集合。

  第二行输出一个长度为m的字符串,其中第i个字符表示二分图B侧第i个点所属的集合。

Sample Input Sample Output

11 9 22
1 1
1 2
1 3
1 8
1 9
2 1
2 3
3 2
3 4
4 3
4 5
5 2
5 4
5 6
6 6
6 7
7 5
7 7
8 7
9 7
10 7
11 7

 

 

AEEEEEENNNN
EEEEEEANN


























 

Hint

  对于10%的数据,$1 \\leq n, m \\leq 5$

  对于40%的数据,$1 \\leq n, m \\leq 100$

  对于100%的数据,$1 \\leq n, m \\leq 1000, 0 \\leq k \\leq n*m$

  


Konig定理

  ORZ贴上Matrix67的博http://www.matrix67.com/blog/archives/116ORZ,这里证明了Konig定理,那我按着他的思路再述说一次。(我从这里才看懂的)。

  以及一篇思路很清晰的博:http://www.renfei.org/blog/bipartite-matching.html,里面直观地讲述了Hungary的本质,但主要还是看交错轨和增广路的概念即可。

  Konig定理:最小点覆盖的点集合大小等于最大匹配数。

  其中提到了最小点覆盖是如何找出的:

    1.正常二分图匹配。

    2.从右部找到未被匹配的点,走交错轨(先未匹配边后有匹配边,反复交错),将交错轨经过的点打上标记;

    3.左部有标记的点和右部无标记的点构成了最小点覆盖集。

  弄明白原理,这道题就很容易了。

  ORZMatrix67,我们分三步证明:

  

  1.这样弄出的点总共只有m个:

    我们的出发点总是右部未匹配的点。由于现在的图是最大匹配,交错轨一定是从右部出发,在右部结束,也就是结束时的边一定是匹配边(否则就满足增广路的性质,这张图就不是最大匹配了,矛盾);从右往左走的一定是非匹配边,从左往右走的一定是匹配边

    贴张图(出于Matrix67的博)

    

    发现:每条匹配边的某一端都是一个最小点覆盖集中的点。Why?

    我们选择的点中:左半部分有标记的,那都是在走交错轨的时候通过匹配边从右往左走过来的,于是交错轨中经过的左部点与匹配边一一对应。

    右半部分无标记的,代表没有交错轨经过,那是因为我们开始走的时候选的是未匹配点作为起点,且途中从左往右走的是匹配边,二者都没有这一个点的份。因此?因此它们是匹配点,也就是与匹配边一一对应。

    得证这样选出的点总共只有m个。Get√

 

  2.这样弄出的m个点能覆盖全部边:

     先选出的交错轨已经覆盖了一定数量的边;那么为什么选择右边无标记的点就可以覆盖剩下的边?

     首先,交错轨中的边一定是两端都有标记的;不是两端都有标记的边不属于交错轨。

     其次,左边无标记而右边有标记的边是不存在的:如果这是一条匹配边,那么右边的标记只能是从左边走来的,那么左边也应有标记;如果这是一条非匹配边,那么一定能从右边走到左边,左边也应该有标记。

      那么,只剩下左无右无、左有右无两种边存在,发现右端都是“无”,那么我们选择右端未被标记的点,就可以覆盖剩下的全部边。

  

  3.这样弄出的最小覆盖集是最少的(这不废话吗):

     覆盖所有的匹配边就至少需要m个点,嗯还能再少吗......

 

  证毕。

 


题解

  根据上面提到的选点的方式,选的是左边有标记的点与右边无标记的点。

  出发时一定要选右部未匹配的点,也就是它们一定会打上标记。然而我们最终选的是右边无标记的点,所以右部未匹配的点一定不在最小覆盖集内---->N。

  左部未匹配的点,意味着交错轨从未经过,也就是它们一定没有标记。我们选择的是左边有标记的点,所以左部未匹配的点一定不在最小覆盖集内---->N。

  所以未匹配的点(暂且归为集合A)一定不在最小覆盖集中。

  既然A不在,那么与它们相连的点(归为集合B)就必须在--->A,不然就无法覆盖到它们之间相连的边了。

  那么B中的点,如果是匹配点,那么它的另一侧匹配点就不能在。当该点为左部点时,右边应该打上标记,不会被选;当该点为右部点的时候,它应该没有标记,属于选择的点的第二类点(右部无标记点),那么左边也就是另一侧匹配点就没必要选。

  

  重复上面判断步骤,判断出A和N的存在,剩下的就是E。这一步可以用类似广搜的操作完成。


 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <queue>
 4 #define mp make_pair
 5 using namespace std;
 6 typedef pair<int,int> pii;
 7 const int N=1010;
 8 int n,m,k,use[N*2],from[N*2],h[N*2],tot,col[N*2];
 9 struct Edge{int v,next;}g[N*N*2];
10 queue<pii> q;
11 inline void addEdge(int u,int v){
12     g[++tot].v=v; g[tot].next=h[u]; h[u]=tot;
13 }
14 bool Hungary(int u){
15     for(int i=h[u],v;i;i=g[i].next){
16         if(!use[v=g[i].v]){
17             use[v]=1;
18             if(!from[v]||Hungary(from[v])){
19                 from[v]=u;
20                 return true;
21             }
22         }
23     }
24     return false;
25 }
26 int main(){
27     scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
28     for(int i=1,u,v;i<=k;i++){
29         scanf("%d%d",&u,&v);
30         addEdge(u,v+n); addEdge(v+n,u);
31     }
32     for(int i=1;i<=n;i++){
33         memset(use,0,sizeof use);
34         Hungary(i);
35     }
36     for(int i=1;i<=m;i++)
37         if(from[n+i])
38             from[from[n+i]]=n+i;
39     for(int i=1;i<=n+m;i++)
40         if(!from[i]&&!col[i]){
41             col[i]=1;
42             q.push(mp(i,2));
43         }
44     int u,f;
45     pii s;
46     while(!q.empty()){
47         s=q.front(); q.pop();    
48         u=s.first; f=s.second;
49         for(int i=h[u],v;i;i=g[i].next)
50             if(!col[v=g[i].v]&&(col[u]==1)||(col[u]==2&&v==from[u])){
51                 col[v]=f;
52                 q.push(mp(v,f==1?2:1));
53             }
54     }
55     for(int i=1;i<=n;i++)
56         if(col[i]==1) putchar(\'N\');
57         else if(col[i]==2) putchar(\'A\');
58         else putchar(\'E\');
59     puts("");
60     for(int i=n+1;i<=n+m;i++)
61         if(col[i]==1) putchar(\'N\');
62         else if(col[i]==2) putchar(\'A\');
63         else putchar(\'E\');
64     puts("");
65     return 0;
66 }
奇妙代码

 

以上是关于Learning最小点覆盖(二分图匹配) 与Konig定理证明的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

图论二分图的应用(染色法判断二分图,最大匹配,最小点覆盖,最大独立集,最小路径点覆盖,最小路径重复点覆盖)

二分图 最大匹配 最小点覆盖 最大独立子集

二分图的性质

POJ-1325 Machine Schedule 二分图匹配 最小点覆盖问题

最小点覆盖,二分图最大匹配—POJ1274 POJ1469 POJ1469

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