二分图定理的一些证明：

Posted 2021-01-23 enceladus-return0

二分图定理的一些证明：

1.最小顶点覆盖

定义：能覆盖所有的边的最少顶点数(或是最小点权和)

最小顶点覆盖 = 最大匹配数

证明：假设最大匹配是M。为了求最少的点让每条边都至少和期中一个点关联。 M个点是足够的。就是说他们覆盖最大匹配的那M条边后，假设有某边没被覆盖，那么把它加入后会得到一个更大的匹配，出现矛盾。 M个点是必需的。匹配的M条边，由于他们两两无公共点，就是说至少有M个点才能把他们覆盖，所以啊，最小顶点覆盖 = 最大匹配数 。

2.最大独立点集

定义：在二分图中，选择一些点，使得这些点两两没有边直接相连。

最大独立点集=总点数-最小顶点覆盖

证明：可以这么想，最小顶点覆盖里的每一个点，会去尽可能多的覆盖更多的边，这样一来，这个点覆盖的边的对面的一群点，就全会被算到最大独立点集中，如果最大独立点集中的点有边，那最大匹配数会更优，最小顶点覆盖 也会更大，所以最大独立点集=总点数-最小顶点覆盖。

3.DAG最小路径覆盖

定义：能覆盖所有点的最少路径数

最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数

证明：先说一下建图

DAG转化成二分图：将一个点拆分成两个点：入点和出点，如果A，B之间有边，就把A的出点和B的入点相连。

RT↓

这张图建完转成二分图是这个样子（且已经匹配完

匹配完了就是这个样子：

三种颜色即代表了三条路径

可以这样想：如果图不连通，最小路径覆盖即为点数，每多一次匹配，会多覆盖一个点，最小路径数-1。又因为每个点只能用一次，所以最小路径覆盖 = 原图上的点数 - 最大匹配数 。