[HAOI 2009]逆序对数列

Posted 2020-10-11 NaVi_Awson

Description

对于一个数列{ai}，如果有i<j且ai>aj，那么我们称ai与aj为一对逆序对数。若对于任意一个由1~n自然数组成的

数列，可以很容易求出有多少个逆序对数。那么逆序对数为k的这样自然数数列到底有多少个？

Input

第一行为两个整数n，k。

Output

写入一个整数，表示符合条件的数列个数，由于这个数可能很大，你只需输出该数对10000求余数后的结果。

Sample Input

4 1

Sample Output

3

HINT

下列3个数列逆序对数都为1；分别是1 2 4 3 ；1 3 2 4 ；2 1 3 4；
100%的数据 n<=1000，k<=1000

题解

注意到逆序对的话，我们只在乎他们的相对数值，而不是具体是多少。

我们定义状态$f[i][j]$表示长度为$i$的排列，逆序对个数为$j$的方案数，显然我们转移的时候，考虑的是第$i$个数放在哪。

值得注意的是，这个数显然比之前的所有数都要大。即，我将$i$放在$i-j$的位置上，我将新获得$j$个逆序对。

我们容易想到$O(n^3)$的转移：

$$f[i][j] = {\sum_{k = 0}^{min(i-1, j)} f[i-1][j-k]}$$

边界情况是$f[1][0] = 1$。

$TLE$怎么办？前缀和优化一下就好了。

 1 //It is made by Awson on 2017.10.18
 2 #include <set>
 3 #include <map>
 4 #include <cmath>
 5 #include <ctime>
 6 #include <stack>
 7 #include <queue>
 8 #include <vector>
 9 #include <string>
10 #include <cstdio>
11 #include <cstdlib>
12 #include <cstring>
13 #include <iostream>
14 #include <algorithm>
15 #define LL long long
16 #define Min(a, b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
17 #define Max(a, b) ((a) > (b) ? (a) : (b))
18 #define Abs(x) ((x) < 0 ? (-(x)) : (x))
19 using namespace std;
20 const int N = 1000;
21 const int MOD = 10000;
22 
23 int f[N+5][N+5], n, m;
24 int sum[N+5];
25 
26 void work() {
27     scanf("%d%d", &n, &m); f[1][0] = sum[0] = 1;
28     for (int i = 1; i <= m; i++) sum[i] = sum[i-1]+f[1][i];
29     for (int i = 2; i <= n; i++) {
30         for (int j = 0; j <= m; j++) {
31             (f[i][j] += sum[j]) %= MOD;
32             if (Min(i-1, j) > 0) (f[i][j] -= sum[j-Min(i-1, j)-1]) %= MOD;
33         }
34         for (int j = 1; j <= m; j++) sum[j] = sum[j-1]+f[i][j];
35     }
36     printf("%d\n", (f[n][m]+MOD)%MOD);
37 }
38 int main() {
39     work();
40     return 0;
41 }