n！mod p的求法

Posted 2020-06-09

我们假设p为素数，n！=a*p^e，则我们需要求解a mod p和e。

e是n！能够迭代整除p的次数，因此可以使用下面式子计算：

n/p+n/p²+n/p³……

我们只需要对p^t≤n的t进行计算所以复杂度为O(log_pn)

 

接下来计算a mod p。

首先计算n！的因数中不能被p整除的项的积。

举个简单的例子后不难发现，不能被p整除的项在mod p下呈周期性。

因此，可将n！的因数中不能被p整除的项的积化为如下式子：

（p-1)!^（n/p）*（n mod p）！。

根据威尔逊定理，我们有（p-1）！≡-1。所以这时候我们只需要求n/p的奇偶和（n mod p）！就可以了。

//威尔逊定理及证明见：http://www.cnblogs.com/wls001/p/5160288.html

这时我们只有预处理出0<=n<p的范围中n! mod p 的表就可以在O(log_p n)时间内算出答案了。如果不预处理，那么复杂度就是O(p log_p n)。