逆元以及线性逆元求法（转）

Posted 2020-09-26

对于一个数a，如果a*a^-1=1(modp)，那么a^-1是a对于p的逆元

在除法中，除以一个数等于乘上这个数的逆元，即x/y=x*y^-1(modp)

求单个逆元可以用费尔马小定理

对于质数p，a^(p-1)=1(modp)，那么a^(p-2)*a=a^(p-1)=1(modp)，所以a^-1=a^(p-2)，用快速幂求即可

但对于一堆数，例如1~n一一求逆元，用快速幂是O(nlogn)的，若n达到1e7会爆炸，所以需要线性求逆元的方法

 

假设当前要求数i的逆元，且1~i-1的逆元都已经求好了，设模数p为质数

p可以表示为p=k*i+r的形式，其中k相当于除数，i相当于商，r相当于余数

那么k*i+r=0(mod p)这是显然的

模等式两边同时乘以i^-1*r^-1，因为i*i^-1=1(modp)，所以等式变成了k*r^-1+i^-1=0(mod p)

移项，得i^-1=-k*r^-1

这其中，k是除数(下取整)，相当于p/i，r是余数，相当于p%i

p%i一定小于i，而因为p是质数，所以p%i!=0

1~i-1的所有数的逆元我们都是知道的，以inv[]表示

那么我们就有了inv[i]的递推式：inv[i]=-(p/i)*inv[p%i]=p-((p/i)*inv[p%i])%p

其中,1^-1=1

于是我们就有了线性的逆元求法