数论干货线性方法求阶乘，逆元和组合数

Posted 2021-02-15 tqr06

线性求法，即预处理出阶乘以及逆元

阶乘的递推式非常好想，fac[i]=fac[i-1]*i

    fac[0]=1;
    for(register int i=1;i<=maxn;++i)
        fac[i]=(1ll*fac[i-1]*i)%mod;

至于逆元，易证inv[i]=inv[i+1]*(i+1)

    inv[maxn]=qpow(fac[n+m],mod-2);
    for(register int i=maxn-1;i>=0;--i)
        inv[i]=(1ll*inv[i+1]*(i+1))%mod;

不过最大的逆元需要使用快速幂处理一下，就像这样

ll qpow(ll x,ll n) //x的n次方
{
    ll res=1;
    while(n)
    {
        if(n&1) res=(1ll*res*x)%mod;
        x=(1ll*x*x)%mod;
        n>>=1;
    }
    return res;
}

于是根据数学公式，组合数就非常好求了

ll C(ll n,ll m)
{
    ll res=(1ll*fac[n]*inv[m])%mod;
    return (1ll*res*inv[n-m])%mod;
}

需要注意，最好将式子拆成两部分，否则容易乘爆
(连WA8次的惨痛教训)

最后我们就可以愉快地输出了

printf("%lld
",C(n,m));

数学证明我会写在以后的博客中