NTT小结及原根求法

Posted 2021-11-27 y2823774827y

注意

由于蒟蒻实在太弱了~^_^~暂时无法完成证明，仅能写出简单版总结

与FFT的区别

\(NTT\)与\(FFT\)的代码区别就是把单位根换成了原根，从而实现无精度误差与浮点数的巨大常数

原根具有单位根的所有特点，原根是在特定模数下的定义

对于模数\(p\)，原根\(g\)满足：\(~_{i=0}^{p-1}g^i (mod~p)\)均不同

用\(type=1,g^{\frac{p-1}{2*mid}}；type=-1,\dfrac{1}{g^{\frac{p-1}{2*mid}}}\)代替单位根
最后得到的值除一下\(limit\)

原根

快速求原根：对于模数\(p\)分解质因数，\(p-1=p_1^{k_1}...p_n^{k_n}\)，原根\(g\)满足\(~_{i=1}^n g^{\frac{p-1}{p_i}}≠1(mod p)\)

求原根就直接分解\(p-1\)，然后\(1\)~\(p\)枚举原根就行，通常原根很小，所以能快速求出

\(w=g^{\frac{p-1}{2*mid}}\)