NTT

Posted 2022-02-24 cbdsopa的博客

来，背

稍微提一下原根的求法，我们对于模数(p-1)质因数分解，然后暴力枚举原根，我们发现原根满足 \\(^n_i=1g^\\fracp-1p_i\\not\\equiv 1(mod\\ p)\\) 就没了。

然后就是模数需要满足是\\(X\\times 2_n+1\\) 的形式，否则上任意模数NTT

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long 
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin),freopen(#a".out","w",stdout)
#define endless() fclose(stdin),fclose(stdout)
#define ReadOnly(a) freopen(#a,"r",stdin)
inline int read()
	int s=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<\'0\'||\'9\'<ch) if(ch==\'-\') f=-1;ch=getchar();
	while(\'0\'<=ch&&ch<=\'9\') s=s*10+(ch^48);ch=getchar();
	return s*f;

const int mods=998244353;
const int N=1e6+5e5+3;
inline int inc(int x,int y)
	return (x+=y)>=mods?x-mods:x;

inline int dec(int x,int y)
	return (x-=y)<0?x+mods:x;

inline int mul(int x,int y)
	return 1ll*x*y%mods;

int qpow(int a,int b)
	int ans=1;
	while(b)
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	
	return ans;

inline int inv(int x)
	return qpow(x,mods-2);

int F[N<<1],P[N<<1];
int rev[N<<1];int n,m;
int G=3;
int w[N<<1];
int invG=inv(G);
inline void get_rev()
	for(int i=0;i<n;++i)
		rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)?n>>1:0);
	

inline void NTT(int *f,bool flag)
	for(int i=0;i<n;++i)
		if(i<rev[i]) swap(f[i],f[rev[i]]);
	
	for(int p=2;p<=n;p<<=1)//枚举区间长度
		int len=p>>1;//获取分治长度
		w[0]=1,w[1]=qpow(flag?G:invG,(mods-1)/p);
		for(int i=2;i<=p;++i)
			w[i]=mul(w[i-1],w[1]);
		
		for(int k=0;k<n;k+=p)//枚举初始化位置
			int pos=0;
			for(int l=k;l<k+len;++l)//枚举detail
				int tmp=mul(w[pos],f[len+l]);
				f[len+l]=dec(f[l],tmp);
				f[l]=inc(f[l],tmp);
				++pos;//获取下一个单位根
			
		
	

int main(void)
	n=read();m=read();
	for(int i=0;i<=n;++i)
		F[i]=read();
	
	for(int i=0;i<=m;++i)
		P[i]=read();
	
	for(m+=n,n=1;n<=m;n<<=1);//补足2的幂次
	get_rev();//二进制翻转
	NTT(F,1);NTT(P,1);
	for(int i=0;i<n;++i) F[i]=mul(F[i],P[i]);
	NTT(F,0);
	for(int i=0;i<=m;++i)
		printf("%d ",(int)mul(F[i],inv(n)) );
	
	return 0;

求原根

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double 
#define filein(a) freopen(#a".in","r",stdin)
#define fileot(a) freopen(#a".out","w",stdout)
using std::mt19937;
using std::sort;
namespace TOOLS
	const db eps=1e-9;
	template<class T>
	inline void read(T &s)
		s=0;bool f=0;char ch=getchar();
		while(ch<\'0\'||\'9\'<ch) if(ch==\'-\') f=1;ch=getchar();
		while(\'0\'<=ch&&ch<=\'9\') s=s*10+(ch^48);ch=getchar();
		if(ch==\'.\')
			T p=1;ch=getchar();
			while(\'0\'<=ch&&ch<=\'9\') p*=0.1;s=s+(ch^48)*p;ch=getchar();
		
		s=f?-s:s;
	
	template<class T>
	inline int sgn(T x)
		return x<-eps?-1:x<eps?0:1;
	
	mt19937 rd_ori(time(0)+114514*time(0) );
	template<class T>
	inline T rd(T L,T R)
		return std::uniform_int_distribution<T>(L,R)(rd_ori);
	

using namespace TOOLS;
const int N=100+3;
int mods;
inline int inc(int x,int y)
	return (x+=y)>=mods?x-mods:x;

inline int dec(int x,int y)
	return (x-=y)<0?x+mods:x;

inline int mul(int x,int y)
	return 1ll*x*y%mods;

inline int qpow(int a,int b)
	int ans=1;
	while(b)
		if(b&1) ans=mul(ans,a);
		a=mul(a,a);
		b>>=1;
	
	return ans;

inline int inv(int x) return qpow(x,mods-2);
int pri[N];
int main()
	//filein(a);//fileot(a);
	read(mods);
	int x=mods-1;
	for(int i=2;i*i<=x;++i)
		if(x%i==0)
			pri[++pri[0] ]=i;
			while(x%i==0) x/=i;
		
	
	if(x!=1)
		pri[++pri[0] ]=x;
	
	for(int g=2;g<=mods;++g)
		bool flag=0;
		for(int i=1;i<=pri[0];++i)
			if(qpow(g,mul(mods-1,inv(pri[i]) ) )==1)
				flag=1;break;
			
		
		if(!flag)
			printf("%d\\n",g);
			break;
		
	
	return 0;