bzoj3530[Sdoi2014]数数 AC自动机+数位dp

Posted 2020-10-08 GXZlegend

题目描述

我们称一个正整数N是幸运数，当且仅当它的十进制表示中不包含数字串集合S中任意一个元素作为其子串。例如当S=(22，333，0233)时，233是幸运数，2333、20233、3223不是幸运数。
给定N和S，计算不大于N的幸运数个数。

输入

输入的第一行包含整数N。
接下来一行一个整数M，表示S中元素的数量。
接下来M行，每行一个数字串，表示S中的一个元素。

输出

输出一行一个整数，表示答案模109+7的值。

样例输入

20
3
2
3
14

样例输出

14

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题解

AC自动机+数位dp

同学的某道考试题的加强版。。。

由于给定的串多且复杂，要求不能匹配到这些串，所以可以对这些串建立Trie图。

然后设$f[i][j]$表示从$j$开始走$i$个节点，不触碰到危险节点（即得到的是非幸运数）的方案数。

那么如果$j$是危险节点则方案数为0，否则枚举$j$走出去的第一步，用$f[i-1][next[j][k]]$更新$f[i][j]$。

考虑数位dp的过程：

首先处理出位数不满$n$位的数的个数：枚举位数和最高位（非0），然后方案数即为$f[i][next[1][j]]$。

然后考虑位数满$n$位的数的个数：

考虑从高到底的每一位：从0到当前位-1是满的（即后面的数恰好从0到10^{位数}），因此可以直接从$f$中取出。再考虑当前位不满的情况，此时转化为了子问题，按照同样的方法处理即可。

注意最高位是不能包含前导0的，而确定最高位以后其余的位是可以包含前导0的。

时间复杂度$O(10nL)$

细节贼多。。。代码凑合着看吧。。。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 1510
#define mod 1000000007
using namespace std;
queue<int> q;
int next[N][10] , tot = 1 , fail[N] , tag[N] , f[N][N];
char s[N] , w[N];
void build()
{
	int x , i;
	for(i = 0 ; i < 10 ; i ++ ) next[0][i] = 1;
	q.push(1);
	while(!q.empty())
	{
		x = q.front() , q.pop() , tag[x] |= tag[fail[x]];
		for(i = 0 ; i < 10 ; i ++ )
		{
			if(next[x][i]) fail[next[x][i]] = next[fail[x]][i] , q.push(next[x][i]);
			else next[x][i] = next[fail[x]][i];
		}
	}
}
int main()
{
	int n , m , i , j , k , t , flag , ans = 0;
	scanf("%s%d" , s , &m) , n = strlen(s);
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ )
	{
		scanf("%s" , w);
		for(j = 0 , t = 1 ; w[j] ; j ++ )
		{
			if(!next[t][w[j] ^ ‘0‘]) next[t][w[j] ^ ‘0‘] = ++tot;
			t = next[t][w[j] ^ ‘0‘];
		}
		tag[t] = 1;
	}
	build();
	for(i = 1 ; i <= tot ; i ++ ) f[1][i] = !tag[i];
	for(i = 2 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= tot ; j ++ )
			if(!tag[j])
				for(k = 0 ; k < 10 ; k ++ )
					f[i][j] = (f[i][j] + f[i - 1][next[j][k]]) % mod;
	for(i = 1 ; i < n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j < 10 ; j ++ )
			ans = (ans + f[i][next[1][j]]) % mod;
	for(i = 0 , t = flag = 1 ; i < n ; i ++ )
	{
		for(j = flag ; j < (s[i] ^ ‘0‘) ; j ++ ) ans = (ans + f[n - i][next[t][j]]) % mod;
		t = next[t][s[i] ^ ‘0‘];
		if(tag[t]) break;
		flag = 0;
	}
	if(!tag[t]) ans = (ans + 1) % mod;
	printf("%d\n" , ans);
	return 0;
}