最大子矩阵

Posted 2020-10-06 Aragaki

    2、最大子矩阵和问题
        (1)问题描述：给定一个m行n列的整数矩阵A，试求A的一个子矩阵，时期各元素之和为最大。

     (2)问题分析：

      用二维数组a[1:m][1:n]表示给定的m行n列的整数矩阵。子数组a[i1:i2][j1:j2]表示左上角和右下角行列坐标分别为(i1,j1)和(i2,j2)的子矩阵，其各元素之和记为：

      最大子矩阵问题的最优值为。如果用直接枚举的方法解最大子矩阵和问题，需要O(m^2n^2)时间。注意到，式中，，设，则

容易看出，这正是一维情形的最大子段和问题。因此，借助最大子段和问题的动态规划算法MaxSum，可设计出最大子矩阵和动态规划算法如下:

//3d4-5 最大子矩阵之和问题
#include "stdafx.h"
#include <iostream> 
using namespace std; 

const int M=4;
const int N=3;

int MaxSum(int n,int *a);
int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N]);

int main()
{
    int a[][N] = {{4,-2,9},{-1,3,8},{-6,7,6},{0,9,-5}};

    for(int i=0; i<M; i++)
    {
        for(int j=0; j<N; j++)
        {
            cout<<a[i][j]<<" ";
        }
        cout<<endl;
    }

    cout<<endl;
    cout<<"数组a的最大连续子段和为:"<<MaxSum2(M,N,a)<<endl;

    return 0;
}

int MaxSum2(int m,int n,int a[M][N])
{
    int sum = 0;
    int *b = new int[n+1];
    for(int i=0; i<m; i++)//枚举行
    {
        for(int k=0; k<n;k++)
        {
            b[k]=0;
        }

        for(int j=i;j<m;j++)//枚举初始行i,结束行j
        {
            for(int k=0; k<n; k++)
            {
                b[k] += a[j][k];//b[k]为纵向列之和
                int max = MaxSum(n,b);
                if(max>sum)
                {
                    sum = max;
                }
            }
        }
    }
    return sum;
}

int MaxSum(int n,int *a)
{
    int sum=0,b=0;
    for(int i=1; i<=n; i++)
    {
        if(b>0)
        {
            b+=a[i];
        }
        else
        {
            b=a[i];
        }
        if(b>sum)
        {
            sum = b;
        }
    }
    return sum;
}