根据a(n)/a(n-1)的无理数极限逆推二阶线性递推数列公式

Posted 2020-10-06

首先看这样一道题目：

a(n)=6*a(n-1)-a(n-2),a1=1,a2=5，求b(n)=a(n+1)/a(n)的极限 

数列通项两边除以a(n-1)

得：

a(n)/a(n-1)=6-a(n-1)/a(n-2)

根据单调有界定理可以证明极限存在

单调性可以用数学归纳法证明，不再赘述

设极限为x

则x=6-1/x

x^2-6*x+1=0

解一元二次方程得

x=3+2√2

我举这个例子，是因为，这个例子和2017 ACM-ICPC 亚洲区（乌鲁木齐赛区）网络E题的数列很像，只不过在后面减了个2，是不影响极限大小的

当时，我们算出来的极限是这样子的：

 

这个与3+2√2是相同的

那么怎么根据这个无理数极限逆推数列递推公式呢？

形如：a(n)=x*a(n-1)+y*a(n-2)+z

其实可以用求根公式逆推出二元一次函数

然后再逆推出数列递推公式系数x和y，然后再带入数列求出常数项z

这样就可以根据a(n)/a(n-1)的无理数极限逆推二阶线性递推数列公式

所以为了使用这种方法，我们还要多背几个根号的值：

√2=1.414

√3=1.732

√5=2.236

√6=2.449

√7=2.646

√10=3.162

也不要背太多，题目不会太复杂的

当然也可能求出来是整数，那么就难以确定了

即使求出来是无理数，也可能是多阶的