二阶常系数齐次线性微分方程的通解
Posted 白水baishui
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了二阶常系数齐次线性微分方程的通解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
*本文略去了很多证明，只记录结论
*文中的微分方程均指代二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程的形式为：
a
y
′
′
+
b
y
′
+
c
y
=
0
ay'' + by' + cy = 0
ay′′+by′+cy=0
由于是二阶线性微分方程，所以它有两个解，记为
y
1
、
y
2
y_1、y_2
y1、y2，若
y
1
y
2
≠
C
\\fracy_1y_2 \\neq C
y2y1̸=C(即两个解之比不为常数)，则
y
1
、
y
2
y_1、y_2
y1、y2线性无关，那么微分方程的通解为：
y
=
C
1
y
1
+
C
2
y
2
y = C_1y_1 + C_2y_2
y=C1y1+C2y2
我们可以通过微分方程的特征方程来计算微分方程的两个解：
对于微分方程：
a
y
′
′
+
b
y
′
+
c
y
=
0
ay'' + by' + cy = 0
ay′′+by′+cy=0
它的特征方程为： a r 2 + b r + c = 0 ar^2 + br + c = 0 ar2+br+c=0（微分方程的n阶导对于特征方程的n次幂）
写出微分方程的特征方程后即可以用求根公式求出特征方程的解：
r
1
,
2
=
−
b
±
Δ
2
a
，
Δ
=
b
2
−
4
a
c
r_1, 2 = \\frac-b\\pm \\sqrt\\Delta2a， \\Delta = b^2 - 4ac
r1,2=2a−b±Δ，Δ=b2−4ac
以下分情况讨论：
①当
Δ
>
0
\\Delta > 0
Δ>0时，
r
1
、
r
2
r_1、r_2
r1、r2是两个不相等的实根
r
1
=
−
b
+
Δ
2
a
，
r
2
=
−
b
−
Δ
2
a
r_1 = \\frac-b+\\sqrt\\Delta2a，r_2 = \\frac-b- \\sqrt\\Delta2a
r1=2a−b+Δ，r2=2a−b−Δ
微分方程的通解为：
y
=
C
1
e
r
1
x
+
C
2
e
r
2
x
y = C_1e^r_1x + C_2e^r_2x
y=C1er1x+C2er2x
②当
Δ
=
0
\\Delta = 0
Δ=0时，
r
1
、
r
2
r_1、r_2
r1、r2是两个相等的实根
r
1
=
r
2
=
−
b
2
a
r_1 = r_2 = -\\fracb2a
r1=r2=−2ab
微分方程的通解为：
y
=
C
1
e
r
1
x
+
C
2
x
e
r
2
x
y = C_1e^r_1x + C_2xe^r_2x
y=C1er1x+C2xer2x
③当
Δ
<
0
\\Delta < 0
Δ<0时，
r
1
、
r
2
r_1、r_2
r1、r2是一对共轭复根
r
1
=
α
+
β
i
，
r
2
=
α
−
β
i
r_1 = \\alpha + \\beta i， r_2 = \\alpha - \\beta i
r1=α+βi，r2=α−βi其中
α
=
−
b
2
a
，
β
=
−
Δ
2
a
\\alpha = -\\fracb2a， \\beta = \\frac\\sqrt-\\Delta2a
α=−2ab，β=2a−Δ
微分方程的通解为： y = e a x ( C 1 cos β x + C 2 sin β x ) y = e^ax(C_1\\cos \\beta x + C_2\\sin \\beta x) y=eax(C1cosβx+以上是关于二阶常系数齐次线性微分方程的通解的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章