一道证明极限存在的题

Posted 2020-09-08 Minimal_Cone

1.已知非负数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$满足对于$\forall n\in N$， $a_{n+1}-a_{n}\leq\frac{1}{n^2}$.    证明: $\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n$ 存在.

证明: 首先由$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\infty$和数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$非负, 可知$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$有界.  (既有上界也有下界).

其次$\forall n\geq2, a_{n+1}-a_{n}\leq \frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$ ，即$a_{n+1}+\frac{1}{n}<a_{n}+\frac{1}{n-1}$ .

因此新数列$\{a_{n}+\frac{1}{n-1}\}_{n=2}^{\infty}$单调递减，且有界！

 

因此$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} (a_n+\frac{1}{n-1})$存在，故$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n$ 存在.                Q.E.D.

 

注解：(1)也可以考虑用反证法，即如果至少有两个聚点则矛盾！或者用上下极限的方法也可以做.

 

        (2)如果已知非负数列$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$满足对于$\forall n\in N$， $a_{n+1}-a_{n}\leq\frac{1}{n}$.  

            问$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty} a_n$ 是否一定存在？答案是否定的！可以构造反例!