费马小定理及欧拉函数

Posted 2020-06-09

2016.1.26

 

对于m=p₁^e1 . p₂^e2 . p₃^e3 . …… . p_n^en

欧拉函数定义为φ(m)=m * ∏(p_i – 1)/p_i

其意义为不超过m并且和m互素的数的个数

特别的φ（1）=1

对于和m互素的x，有x^φ(m)≡1(mod m)

 

特别的，当p为素数时，x无法被p整除，φ(p)=p-1，于是便有费马小定理X^p-1≡1(mod p)

在p是素数时，对任意正整数x都有X^p≡X(mod p)

 

于是对于a的逆元x，有ax≡1(mod m),对于a,m互素时，有x=a^m-2，于是我们可以通过快速幂快速求出a的逆元。

另外，借助素数筛，我们还可以很快的求出1-n的欧拉函数值。每当我们找到一个素数，就把他的倍数的欧拉函数值乘上（p-1）/p.

而且，借助费马小定理我们可以实现对除法取模。