数论一（欧拉函数+费马小定理）

Posted 2021-02-05 2018zxy

一、欧拉函数

1、定义：对于正整数n，欧拉函数φ(x)是求小于n中与n互质的数字的数目。

2、公式：

φ(x)=x(1-1/p(1))(1-1/p(2))(1-1/p(3))(1-1/p(4))…..(1-1/p(n)) 其中p(1),p(2)…p(n)为x

的所有质因数;x是正整数; φ(1)=1(唯一和1互质的数，且小于等于1)。注意：每种质因数只有一个。

3、代码实现：

//求小于等于n且与n互质的数字的个数 
int Euler(int n)
{
    int i,ans=n;
    for(i=2;i<=sqrt(n);i++)
    {
        if(n%i==0)
        {
            ans=ans/i*(i-1); //先除，防止数据溢出 
            while(n%i==0) n/=i;
        }
    }
    if(n>1)
    {
        ans=ans/n*(n-1);
    }
    return ans;
} 
//筛选1-n之间每个数的质因数的个数
void Init(int n)
{
    memset(euler,0,sizeof(euler));
    euler[1]=1;
    for(int i=2;i<n;i++)
        if(!euler[i])
        {
            for(int j=i;j<n;j+=i)
            {
                if(!euler[j]) euler[j]=j;
                euler[j]=euler[j]/i*(i-1);
            }
        }
} 

参考文章：传送门

二、费马小定理

1、内容：

假如p是质数，a与p为互质数，则a的p-1次方除以p的余数恒等于1 。

参考文章：传送门