欧拉函数及费马定理
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了欧拉函数及费马定理相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
欧拉函数
定义：
φ（n）= [ 1 , n ] [1,n] [1,n]区间内和n互质的数的个数。
计算公式：
将n分解质因数为，n = p 1 α 1 ∗ p 2 α 2 . . . ∗ p k α k ( p i 为 质 数 ) p_1^{α_1}*p_2^{α_2}...*p_k^{α_k}(p_i为质数) p1α1∗p2α2...∗pkαk(pi为质数)
则φ（n）= n ∗ ( 1 − 1 p 1 ) ∗ ( 1 − 1 p 2 ) ∗ . . . ∗ ( 1 − 1 p k ) n*(1-\\frac 1{p_1})*(1-\\frac 1 {p_2})*...*(1-\\frac 1 {p_k}) n∗(1−p11)∗(1−p21)∗...∗(1−pk1)
证明：
容斥原理：
φ（n） = n − ⌊ n p 1 ⌋ − ⌊ n p 2 ⌋ − . . . − ⌊ n p k ⌋ + ⌊ n p 1 ∗ p 2 ⌋ + ⌊ n p 1 ∗ p 3 ⌋ + . . . + ⌊ n p k ∗ p k ⌋ − ⌊ n p 1 ∗ p 2 ∗ p 3 ⌋ − ⌊ n p 1 ∗ p 2 ∗ p 4 ⌋ − . . . − ⌊ n p k ∗ p k ∗ p k ⌋ + . . . = n - ⌊\\frac n {p_1}⌋ - ⌊\\frac n {p_2}⌋-... -⌊\\frac n {p_k}⌋+ ⌊\\frac n{p_1*p_2}⌋ + ⌊\\frac n {p_1*p_3}⌋ +... +⌊\\frac n {p_k*p_k}⌋ - ⌊\\frac n{p_1*p_2*p_3}⌋ -⌊\\frac n {p_1*p_2*p_4}⌋ -... -⌊\\frac n {p_k*p_k*p_k}⌋+... =n−⌊p1n⌋−⌊p2n⌋−...−⌊pkn⌋+⌊p1∗p2n⌋+⌊p1∗p3n⌋+...+⌊pk∗pkn⌋−⌊p1∗p2∗p3n⌋−⌊p1∗p2∗p4n⌋−...−⌊pk∗pk∗pkn⌋+...
= n ∗ ( 1 − 1 p 1 ) ∗ ( 1 − 1 p 2 ) ∗ . . . ∗ ( 1 − 1 p k ) =n*(1-\\frac 1{p_1})*(1-\\frac 1 {p_2})*...*(1-\\frac 1 {p_k}) =n∗(1−p11)∗(1−p21)∗...∗(1−pk1)（展开式和上式一样）
公式法求欧拉函数
#include<iostream>
using namespace std;
int main(){
int n;
cin>>n;
while(n--){
int a;
long long res;
cin>>a;
res = a;
for(int i=2;i<=a/i;i++){
//分解质因数
if(a%i==0){
//计算欧拉函数
res = res*(i-1)/i;
while(a%i==0)a/=i;
}
}
if(a>1) res = res*(a-1)/a;
cout<<res<<endl;
}
return 0;
}
筛法求欧拉函数
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6+5;
int prime[N],cnt;
int st[N];
LL phi[N];
int res = 0;
void get_olera(int n){
phi[1]=1;
for(int i=2;i<= n;i++){
if(st[i]==0){
//质数的情况
phi[i]=i-1;
prime[cnt++]=i;
}
for(int j=0;prime[j]<=n/i;j++){
//筛去的是i自身以外的数
st[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j]==0){
//prime[j]是i的最小公约数
phi[prime[j]*i] = phi[i]*prime[j];
break;
}else{
//prime[j]不是i的最小公约数
phi[prime[j]*i] = phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
}
int main(){
int n;
cin>>n;
get_olera(n);
return 0;
}
欧拉定理
定义：
若 a 与 n 互 质
以上是关于欧拉函数及费马定理的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章