「数论基础」欧拉定理（费马小定理）

Posted 2020-12-05 qixingzhi

在阅读本篇之前，如果还不熟悉欧拉函数，可以参见另一篇介绍欧拉函数的「数论基础」欧拉函数。

定义：对于互质的两个正整数$a, n$，满足$a^{φ(n)} ≡ 1  (mod n)$

证明：

　　设集合$S$包含所有$n$以内与$n$互质的数，共有$φ(n)$个：

　　　　    $S = { x_1, x_2, ..., x_{φ(n)} } $

　　再设集合$T$：

　　　　　$T = { a * x_1 \\% n, a * x_2 \\% n, ..., a * x_{φ(n)} \\% n } $

　　由于$ x_i, n $互质，$ a, n $互质，故$a, x_i$一定不包含任何$n$的因数。所以$a * x_i, n$互质

　　所以显而易见    $gcd(a * x_i \\% n, n) = 1$

　　显然$S$集合中的元素互不相同，下面证明$T$中集合的元素互不相同：

　　证明：

　　　　要证明$T$中集合的元素互不相同，可以证明集合 $ { a * x_1, a * x_2, ..., a * x_{φ(n)} } $ 中任意两个数对于$n$都不同余。

　　　　可以利用反证法：

　　　　令$m_i = a * x_i$，则集合可表示为 $ { m_1, m_2, ..., m_{φ(n)} } $ 

　　　　设$ m_s ≡ m_r  (mod n) $，则可得$ m_s - m_r = q * n $， $ a * (x_s - x_r) = q * n $

　　　　即$ n | (a * (x_s - x_r)) $

　　　　由于$a ,n$互质，所以$a, n$没有除1外相同的因子，所以$x_s - x_r$含有所有n的因子。而由于$x_s, x_r$都是$n$以内的，所以$x_s - x_r < n$。

　　　　所以$ n | (a * (x_s - x_r)) $不成立，故$T$中集合的元素互不相同。

　　由于$T$中元素互不相同，而又由于$S$中的元素包含了$n$以内所有与$n$互质的数，$T$也包含了$n$以内所有与$n$互质的数。且$S, T$内的元素都是互不相同的.

　　所以$S = T$

　　乘起来：

　　$ x_1 *  x_2 *  ... *  x_{φ(n)}  ≡  a * x_1 *  a * x_2 * ... * a * x_{φ(n)} (mod n)$

　　$ x_1 *  x_2 *  ... *  x_{φ(n)} ≡  a^{φ(n)} * x_1 * x_2 * ... * x_{φ(n)} (mod n)$

　　$ a^{φ(n)} ≡  1 (mod n)$

　　欧拉定理得证

 

　　所谓费马小定理，其实就是欧拉定理。只不过当$n$是质数时，$φ(n) = n-1$。

　　　　$a^{n-1} ≡ 1  (mod n)$  （$n$为质数）