若尔当标准形 弗罗贝尼乌斯标准形

Posted 2020-10-05 rsapaper

 

【“两个相似的矩阵可以看做是同一个线性变换的‘两面’，即在两个不同的基下的表现”：故特征向量不一定相同外，其他都相同，

其中“其他”指矩阵的其他描述量，如行列式的值、秩、迹数、特征值、特征多项式、初等因子；根据逆否命题的成立关系，可出

2个矩阵为相似矩阵的必要条件。】

 

https://zh.wikipedia.org/wiki/相似矩陣

 

两个相似的矩阵有许多相同的性质：

• 两者的秩相等。
• 两者的行列式值相等。
• 两者的迹数相等。
• 两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。
• 两者拥有同样的特征多项式。
• 两者拥有同样的初等因子。

这种现象的原因有两个：

• 两个相似的矩阵可以看做是同一个线性变换的“两面”，即在两个不同的基下的表现。
• 映射X  P^?1XP是从n阶方阵射到n阶方阵的一个双射同构，因为P是可逆的。

因此，在给定了矩阵A后，只要能找到一个与之相似而又足够“简单”的“规范形式”B，那么对A的研究就可以转化为对更简单的矩阵B的研究。比如说A被称为可对角化的，如果它与一个对角矩阵相似。不是所有的矩阵都可以对角化，但至少在复数域（或任意的代数闭域）内，所有的矩阵都相似于一些被称为若尔当标准形的简单的矩阵。另一种标准形：弗罗贝尼乌斯标准形则在任意的域上都适用。只要查看A和B所对应的标准形是否一致，就能知道两者是否相似。