Jordan标准形 01
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了Jordan标准形 01相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
Jordan标准形
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理 1} }} 定理1 r \\boldsymbol{r} r 阶 Jordan块 J a , r \\boldsymbol{J}_{a, r} Ja,r 的初等因子组为 ( λ − a ) r (\\lambda-\\boldsymbol{a})^{r} (λ−a)r.
【证明】：
λ
I
−
J
a
,
r
\\lambda I-J_{a, r}
λI−Ja,r 有一个
k
k
k 阶子式
(
1
∼
k
(1 \\sim k
(1∼k 行,
2
∼
k
+
1
2 \\sim k+1
2∼k+1 列
)
)
)
∣
−
1
λ
−
a
−
1
⋱
⋱
λ
−
a
−
1
∣
=
(
−
1
)
k
≠
0
,
(
k
≤
r
−
1
)
\\left|\\begin{array}{cccc} -1 & & & \\\\ \\lambda-a & -1 & & \\\\ & \\ddots & \\ddots & \\\\ & & \\lambda-a & -1 \\end{array}\\right|=(-1)^{k} \\neq 0, \\quad(k \\leq r-1)
∣∣∣∣∣∣∣∣−1λ−a−1⋱⋱λ−a−1∣∣∣∣∣∣∣∣=(−1)k=0,(k≤r−1)
⇒
k
(
≤
r
−
1
)
\\Rightarrow k(\\leq r-1)
⇒k(≤r−1) 阶行列式因子为
1
,
r
1, r
1,r 阶行列式因子为
:
∣
λ
I
−
J
a
,
r
∣
=
(
λ
−
a
)
r
:\\left|\\lambda I-J_{a, r}\\right|=(\\lambda-a)^{r}
:∣λI−Ja,r∣=(λ−a)r
⇒ \\Rightarrow ⇒ 不变因子为 1 , ⋯ , 1 ⏞ r − 1 个 , ( λ − a ) r ⇒ \\overbrace{1, \\cdots, 1}^{r-1 个},(\\lambda-a)^{r} \\quad \\Rightarrow 1,⋯,1 r−1个,(λ−a)r⇒ 初等因子组为 ( λ − a ) r . (\\lambda-a)^{r} . (λ−a)r.
定 理 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理 2} }} 定理2 . (1) 设 J = diag ( J 1 , ⋯ , J k ) J=\\operatorname{diag}\\left(J_{1}, \\cdots, J_{k}\\right) J=diag(J1,⋯,Jk), 其中 J i = J a i , r i J_{i}=J_{a_{i}, r_{i}} Ji=Jai,ri 是 r i r_{i} ri 阶 Jordan块
⇒ J \\Rightarrow J ⇒J 的初等因子组为 ( λ − a 1 ) r 1 , ⋯ , ( λ − a k ) r k \\left(\\lambda-a_{1}\\right)^{r_{1}}, \\cdots,\\left(\\lambda-a_{k}\\right)^{r_{k}} (λ−a1)r1,⋯,(λ−ak)rk
(2) 任一 A ∈ C n × n A \\in \\mathbb{C}^{n \\times n} A∈Cn×n 均相似于某个 J = diag ( J 1 , ⋯ , J k ) J=\\operatorname{diag}\\left(J_{1}, \\cdots, J_{k}\\right) J=diag(J1,⋯,Jk),且Jordan标准形惟一确定到仅仅相差 Jordan块的排列顺序.
证明: (1) 由定理1与初等因子推论1 即得;
(2) 设 A A A 的初等因子组为 ( λ − a 1 ) r 1 , ⋯ , ( λ − a k ) r k \\left(\\lambda-a_{1}\\right)^{r_{1}}, \\cdots,\\left(\\lambda-a_{k}\\right)^{r_{k}} (λ−a1)r1,⋯,(λ−ak)rk, 定理1 ⇒ A \\Rightarrow A ⇒A 相似于 J J J.
若 A A A 相似于某Jordan标准形 J ′ ⇒ J \\boldsymbol{J}^{\\prime} \\Rightarrow \\boldsymbol{J} J′⇒J 与 J ′ \\boldsymbol{J}^{\\prime} J以上是关于Jordan标准形 01的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章