lambda矩阵——不变因子相抵标准形的唯一性

Posted 2021-06-07 炫云云

文章目录

• • 行列式因子
  • 标准形的唯一性
  • • 行列式因子
    • 标准形的唯一性
  • 不变因子
  • 用求行列式因子法求标准形
  • 参考

行列式因子

在上一节，我们讨论了 $\lambda$ - 矩阵的标准形，其主要结论是 : 任何 $\lambda$ - 矩阵都能化成标准形. 但是矩阵的标准形是否唯一呢? 答案是肯定的. 为了证明唯一性，要引入矩阵的行列式因子的概念.

$\boxed{定义1}$ 设 $\lambda -$ 矩阵 $A(\lambda )$ 的秩为 $r$, 对于正整数 $k,1\le k\le r,,A(\lambda )$ 中必有非零的 $k$ 级子式. $A(\lambda )$ 中全部 $k$ 级子式的首项系数为 1 的最大公因式 $D_k(\lambda )$ 称为$A(\lambda )$ 的 $k$ 级行列式因子.

由定义可知，对于秩为 $r$ 的 $\lambda$ -矩阵，行列式因子一共有 $r$ 个.行列式因子的意义就在于，它在初等变换下是不变的.

$A\in F^{n\times n}$ 的 $k$ 阶行列式因子: $\lambda \mathbf{I}-\mathbf{A}$ 的行列式因子.

$例1$ . 求 $B(\lambda )=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& {\lambda }^2+\lambda \end{array}\right)$ 的各阶行列式因子.

1阶行列式因子: $1，2$ 阶行列式因子 $:1\cdot \lambda ，3$ 阶行列式因子 $:1\cdot \lambda \cdot \left({\lambda }^2+\lambda \right)$

$例2$. 求 $A(\lambda )=\left(\begin{array}{ccc}1-\lambda & {\lambda }^2& \lambda \\ \lambda & \lambda & -\lambda \\ 1+{\lambda }^2& {\lambda }^2& -{\lambda }^2\end{array}\right)$ 的各阶行列式因子.

【解】: $(1-\lambda ,\lambda )=1\Rightarrow 1$ 阶行列式因子为 $:1$

2,3 列元都是 $\lambda$ 的倍式 $\Rightarrow 2$ 阶行列式因子是 $\lambda$ 的倍式

$\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & \lambda \\ \lambda & -\lambda \end{array}\right|=-\lambda \Rightarrow 2$ 阶行列式因子为

计算得 $|A(\lambda )|=-\lambda \left({\lambda }^2+\lambda \right)\Rightarrow 3$ 阶行列式因子为 $\lambda \left({\lambda }^2+\lambda \right)$

$A(\lambda )\to \cdots \to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \lambda & 0\\ 0& 0& {\lambda }^2+\lambda \end{array}\right)=B(\lambda )$ 初等变换对行列式因子有何影响?

$例3$ 设 $\mathcal{A}$ 是有限维线性空间 $V$ 上的线性变换, $V$ 上非零向量 $\alpha$ 生成一个循环不变$\mathcal{A}$ -子空间 $I(\alpha )$, 设 ${\mathcal{A}|}_{I(\alpha )}$ 的最小多项式为 $f(\lambda )={\lambda }^r+a_{r-1}{\lambda }^{r-1}+\cdots +以上是关于lambda矩阵——不变因子相抵标准形的唯一性的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$

矩阵——矩阵的相抵标准形

lambda矩阵——若尔当(Jordan)标准形

lambda矩阵——相似与λ-矩阵的相抵

关于度量矩阵，不变因子还有Jordan标准型的知识点在哪本书上有？

A=[3 1 -1;0 2 0;1 1 1] 求A的行列式因子，不变因子和初等因子和A的jordan标准型

Jordan标准形 01