lambda矩阵——矩阵的有理标准形
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了lambda矩阵——矩阵的有理标准形相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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前一节中证明了复数域上任一矩阵 A A A 可相似于一个若尔当形矩阵.这一节将对任意数域 P P P 来讨论类似的问题.我们证明了 P P P 上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.
定
义
8
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义 8} }}
定义8 对数域
P
P
P 上的一个多项式
d
(
λ
)
=
λ
n
+
a
1
λ
n
−
1
+
⋯
+
a
n
d(\\lambda)=\\lambda^{n}+a_{1} \\lambda^{n-1}+\\cdots+a_{n}
d(λ)=λn+a1λn−1+⋯+an
称矩阵
A
=
(
0
0
⋯
0
−
a
n
1
0
⋯
0
−
a
n
−
1
0
1
⋯
0
−
a
n
−
2
⋮
⋮
⋮
⋮
0
0
⋯
1
−
a
1
)
(1)
A=\\left(\\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \\cdots & 0 & -a_{n} \\\\ 1 & 0 & \\cdots & 0 & -a_{n-1} \\\\ 0 & 1 & \\cdots & 0 & -a_{n-2} \\\\ \\vdots & \\vdots & & \\vdots & \\vdots \\\\ 0 & 0 & \\cdots & 1 & -a_{1} \\end{array}\\right)\\tag{1}
A=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎛010⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋯000⋮1−an−an−1−an−2⋮−a1⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎞(1)
为多项式
d
(
λ
)
d(\\lambda)
d(λ) 的伴侣阵.
容易证明，
A
A
A 的不变因子(即
λ
E
−
A
\\lambda E-A
λE−A 的不变因子)是
1
,
1
,
⋯
,
1
⏟
n
−
1
个
,
d
(
λ
)
.
\\underbrace{1,1, \\cdots, 1}_{n-1 个}, d(\\lambda) .
n−1个
1,1,⋯,1,d(λ).
定
义
9
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义 9} }}
定义9下列准对角矩阵
A
=
(
A
1
A
2
⋱
A
s
)
(2)
A=\\left(\\begin{array}{llll} A_{1} & & & \\\\ & A_{2} & & \\\\ & & \\ddots & \\\\ & & & A_{s} \\end{array}\\right)\\tag{2}
A=⎝⎜⎜⎛A1A2⋱As⎠⎟⎟⎞(2)
其中
A
i
A_{i}
Ai 分别是数域
P
P
P 上某些多项式
d
i
(
λ
)
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
s
)
d_{i}(\\lambda)(i=1,2, \\cdots, s)
di(λ)(i=1,2,⋯,s) 的伴侣阵，且满足
d
1
(
λ
)
∣
d
2
(
λ
)
∣
⋯
∣
d
s
(
λ
)
,
A
d_{1}(\\lambda)\\left|d_{2}(\\lambda)\\right| \\cdots \\mid d_{s}(\\lambda), A
d1(λ)∣d2(λ)∣⋯∣ds(λ),A 就称为
P
P
P 上的一个有理标准形矩阵.
引 理 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理 } }} 引理(2)中矩阵 A A A 的不变因子为 1 , 1 , ⋯ , 1 , d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯ , d s ( λ ) 1,1, \\cdots, 1, d_{1}(\\lambda), d_{2}(\\lambda), \\cdots, d_{s}(\\lambda) 1,1,⋯,1,d1(λ),d2(λ),⋯,ds(λ), 其中 1 的个数等于 d 1 ( λ ) , d 2 ( λ ) , ⋯ , d s ( λ ) d_{1}(\\lambda), d_{2}(\\lambda), \\cdots, d_{s}(\\lambda) d1(λ),d2(λ),⋯,ds(λ) 的次数之和 n n n 减去 s . s . s.
定 理 14 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理 14 } }} 定理14 数域 P P lambda矩阵——不变因子相抵标准形的唯一性