矩阵——矩阵的相抵标准形
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了矩阵——矩阵的相抵标准形相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
相抵标准形
命 题 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{命题} }} 命题 对矩阵做有限次初等变换不改变矩阵的秩.
推
论
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论} }}
推论 设
P
,
Q
P, Q
P,Q 是可逆阵, 则
r
(
P
A
)
=
r
(
A
Q
)
=
r
(
P
A
Q
)
=
r
(
A
)
r(P A)=r(A Q)=r(P A Q)=r(A)
r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)=r(A)
【证明】 可逆矩阵是有限个初等矩阵的乘积，矩阵
A
A
A 左 ( 右 ) 乘初等矩阵相当于对
A
A
A 作一次行 ( 列 ) 的相应的初等变换.
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1 A A A 与 B B B 相抵: 若 A ⟶ 系列初等变换 B A \\stackrel{\\text { 系列初等变换 }}{\\longrightarrow} B A⟶ 系列初等变换 B, 记为 A ≅ B . A \\cong B . A≅B.
引 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理1} }} 引理1 A A A 与B相抵 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔ 存在可逆的 P , Q P, Q P,Q 使得 B = P A Q B=P A Q B=PAQ.
" ⇒ " A " \\Rightarrow " A "⇒"A 与 B B B 相抵 ⇒ A \\Rightarrow A ⇒A 可经由初等变换变为 B B B
⇒
\\Rightarrow
⇒ 存在 初等矩阵
P
1
,
⋯
,
P
s
;
Q
1
,
⋯
,
Q
t
P_{1}, \\cdots, P_{s} ; Q_{1}, \\cdots, Q_{t}
P1,⋯,Ps;Q1,⋯,Qt 使得
B
=
P
s
⋯
P
1
A
Q
1
⋯
Q
t
B=P_{s} \\cdots P_{1} A Q_{1} \\cdots Q_{t}
B=Ps⋯P1AQ1⋯Qt
令
P
=
P
s
⋯
P
1
,
Q
=
Q
1
⋯
Q
t
即得
\\text { 令 } P=P_{s} \\cdots P_{1}, Q=Q_{1} \\cdots Q_{t} \\text { 即得 }
令 P=Ps⋯P1,Q=Q1⋯Qt 即得
"
⇐
′
′
" \\Leftarrow^{\\prime \\prime}
"⇐′′ 设可逆的
P
,
Q
P, Q
P,Q 使得
B
=
P
A
Q
.
B=P A Q .
B=PAQ.
将
P
,
Q
P, Q
P,Q 写成初等矩阵的乘积:
P
=
P
s
⋯
P
1
,
Q
=
Q
1
⋯
Q
t
P=P_{s} \\cdots P_{1}, Q=Q_{1} \\cdots Q_{t}
P=Ps⋯P1,Q=Q1⋯Qt
⇒ B = P s ⋯ P 1 A Q 1 ⋯ Q t ⇒ A \\Rightarrow B=P_{s} \\cdots P_{1} A Q_{1} \\cdots Q_{t} \\Rightarrow A ⇒B=Ps⋯P1AQ1⋯Qt⇒A 可经由初等变换变为 B ⇒ A ≅ B B \\quad \\Rightarrow A \\cong B B⇒A≅B
定
理
2
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理2} }}
定理2 对任意矩阵
A
m
×
x
A_{m \\times x}
Am×x, 都存在可逆矩阵
P
m
×
m
,
Q
n
×
n
P_{m \\times m}, Q_{n \\times n}
Pm×m,Qn×n 使得
P
A
Q
=
(
I
r
O
O
O
)
m
×
n
⏟
C
\\boldsymbol{P} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{Q}=\\underbrace{\\left(\\begin{array}{cc} \\boldsymbol{I}_{r} & \\boldsymbol{O} \\\\ \\boldsymbol{O} & \\boldsymbol{O} \\end{array}\\right)_{\\boldsymbol{m} \\times \\boldsymbol{n}}}_{\\boldsymbol{C}}
PAQ=C
(IrOOO)m×n
其中
r
=
R
(
A
)
\\boldsymbol{r}=\\boldsymbol{R}(\\boldsymbol{A})
r=R(A). 称
C
C
C 为
A
A
A 的相抵标准形. 特别地
A
A
A 与其标准形相抵 ,即
A
≅
C
A \\cong C
A≅C
证明:
A
⟶
行初等变换
简化行阶梯型
⟶
列初等变换
(
I
r
O
O
O
)
\\boldsymbol{A} \\stackrel{\\text { 行初等变换 }}{\\longrightarrow} \\text { 简化行阶梯型 } \\stackrel{\\text { 列初等变换 }}{\\longrightarrow}\\left(\\begin{array}{cc} \\boldsymbol{I}_{r} & \\boldsymbol{O} \\\\ \\boldsymbol{O} & \\boldsymbol{O} \\end{array}\\right)
A⟶ 行初等变换 简化行阶梯型 ⟶以上是关于矩阵——矩阵的相抵标准形的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章