RQNOJ 311 [NOIP2000]乘积最大：划分型dp

Posted 2020-10-05 Leohh

题目链接：https://www.rqnoj.cn/problem/311

题意：

　　给你一个长度为n的数字，用t个乘号分开，问你分开后乘积最大为多少。(6<=n<=40，1<=k<=30)

 

题解：

　　简化问题：

　　　　给原数字之前添加一个"1 *"，乘号不计入数量，对答案无影响。

　　　　例如："1231"可以变成"(1*)1231"。

 

　　表示状态：

　　　　dp[i][j] = max num（最后一个乘号之前的最大乘积）

　　　　i：此时在第i个数的前面添了一个乘号

　　　　j：用了j个乘号

　　　　例1："(1*)12*31"：

　　　　　　dp[2][1] = 12　（数位从0开始从左向右编号）

　　　　例2："(1*)12*3*1"

　　　　　　dp[3][2] = 12*3 = 36

 

　　找出答案：

　　　　max dp[i][t] * cal_sec(i,n-1)

　　　　cal_sec(x,y)将数字串中[x,y]这个区间的字符串转化为数字

　　　　例如：设n=4,t=1.

　　　　　　　此时为"(1*)12*31"

　　　　　　　则此时这种方案的乘积为dp[2][1]* "31" = 12*31

 

　　如何转移：

　　　　dp[i][j] = max dp[k][j-1] * cal_sec(k,i-1)

　　　　在前面的某一段乘积后面再续上一串数字，达到第i位，用了j个乘号。

　　　　前面的某一段乘积：枚举最后一个乘号在第k个数字之前，用了j-1个乘号。

　　　　要续的数字：从第k位到i-1位 = cal_sec(k,i-1)

 

　　边界条件：

　　　　初始时用了0个乘号，但乘积为1。

　　　　例如："(1*)1231".

　　　　特判：如果输入的数字就是0，则直接返回0.

 

　　注：输入用string，答案用long long存。

　　　　数据水。。。否则高精。。。

 

AC Code:

 1 // state expression:
 2 // dp[i][j] = max num
 3 // i: last ‘*‘ is in front of ith bit
 4 // j: used j ‘*‘
 5 //
 6 // find the answer:
 7 // max dp[i][t] * cal_sec(i,len-1)
 8 //
 9 // transferring:
10 // dp[i][j] = max dp[k][j-1] * cal_sec(k,i-1)
11 //
12 // boundary:
13 // if input == 0: return 0
14 // else dp[0] = 1, others = -1
15 #include <iostream>
16 #include <stdio.h>
17 #include <string.h>
18 #define MAX_N 45
19 #define MAX_K 35
20 
21 using namespace std;
22 
23 int n,t;
24 long long ans;
25 long long dp[MAX_N][MAX_K];
26 long long sec[MAX_N][MAX_N];
27 string s;
28 
29 void read()
30 {
31     cin>>n>>t>>s;
32 }
33 
34 long long cal_sec(int x,int y)
35 {
36     if(sec[x][y]!=-1) return sec[x][y];
37     long long res=0;
38     for(int i=x;i<=y;i++)
39     {
40         res=res*10+s[i]-‘0‘;
41     }
42     return sec[x][y]=res;
43 }
44 
45 void solve()
46 {
47     memset(sec,-1,sizeof(sec));
48     memset(dp,-1,sizeof(dp));
49     dp[0][0]=1;
50     for(int i=1;i<n;i++)
51     {
52         for(int j=1;j<=t && j<=i;j++)
53         {
54             for(int k=0;k<i;k++)
55             {
56                 if(dp[k][j-1]!=-1)
57                 {
58                     dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*cal_sec(k,i-1));
59                 }
60             }
61         }
62     }
63     ans=0;
64     for(int i=0;i<n;i++)
65     {
66         if(dp[i][t]!=-1) ans=max(ans,dp[i][t]*cal_sec(i,n-1));
67     }
68 }
69 
70 void print()
71 {
72     cout<<ans<<endl;
73 }
74 
75 int main()
76 {
77     read();
78     solve();
79     print();
80 }