JLOI 2014--聪明的燕姿(DFS&约数和定理)

Posted 2020-10-03

        写完这道题感觉人生都是灰暗的。。。

        不存在的！！！数学学得好就知道自己等的人是谁？

        这是不不不不不可能的！！！我到现在都没有女朋友！！！

题意

        阴天傍晚车窗外

        未来有一个人在等待

        向左向右向前看

        爱要拐几个弯才来

        我遇见谁会有怎样的对白

        我等的人他在多远的未来

        我听见风来自地铁和人海

        我排着队拿着爱的号码牌

        城市中人们总是拿着号码牌，不停寻找，不断匹配，可是谁也不知道自己等的那个人是谁。可是燕姿不一样，燕姿知道自己等的人是谁，因为燕姿数学学得好！燕姿发现了一个神奇的算法：假设自己的号码牌上写着数字S，那么自己等的人手上的号码牌数字的所有正约数之和必定等于S。

        所以燕姿总是拿着号码牌在地铁和人海找数字（喂！这样真的靠谱吗）可是她忙着唱《绿光》，想拜托你写一个程序能够快速地找到所有自己等的人。

       Input

              输入包含k组数据（k<=100）对于每组数据，输入包含一个号码牌S

       Output

             对于每组数据，输出有两行，第一行包含一个整数m，表示有m个等的人，第二行包含相应的m个数，表示所有等的人的号码牌。注意：你输出的号码牌必须按照升序排列。

Solution

        这道题异常明显考到了约数和定理。。。

        完全搞不清省选题怎么会考小学奥数。。。

        证明一下：

               已知一个正整数n，就可以得到n=(p1^k1)*(p2^k2*)*......*(pm^km)；

               其中pi(1<=i<=m)是质数，也就是n的质因数。。。

               将每一个(pi^ki)分成若干个不同因数：(pi^0)，(pi^1)，.....，(pi^ki)；

               于是得到n因数的个数f[n]=(1+k1)*(1+k2)*......*(1+km)；

               而n所有因数和h[n]=(1+p1^1+p1^2+...+p1^k1)*(1+p2^1+p2^2+...+p2^k2)*....*(1+pm^1+pm^2+...+pm^km)；

        知道这个定理后，只要深搜就能很容易做出这道题。。。

        注意题目中s范围很大，一定要剪枝。。。

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define M 100100
using namespace std;
LL n,p[M],ans[M],tot;
bool not_pri[M];
void get_pri(){
    int i,j;
    for(i=2;i<=100000;i++){
        if(!not_pri[i])
            p[++p[0]]=i;
        for(j=1;p[j]*i<=100000&&j<=p[0];j++){
            not_pri[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0) break;
        }
    }
}
bool judge_pri(LL x){
    LL i;
    if(x==1)
        return 0;
    for(i=1;p[i]*p[i]<=x;i++)
        if(x%p[i]==0)
            return 0;
    return 1;
}
void dfs(LL now,int pos,LL left){
    int i;
    if(left==1){
        ans[++ans[0]]=now;
        return;
    }
    if(left-1>=p[pos]&&judge_pri(left-1))
        ans[++ans[0]]=(left-1)*now;
    for(i=pos;p[i]*p[i]<=left;i++){
        LL power_sum=p[i]+1;
        LL power=p[i];
        for(;power_sum<=left;power*=p[i],power_sum+=power)
            if(left%power_sum==0)
                dfs(now*power,i+1,left/power_sum);
    }
}
int main(){
    int i;
    get_pri();
    while(scanf("%lld",&n)==1){
        ans[0]=0;
        tot=0;
        dfs(1,1,n);
        sort(ans+1,ans+ans[0]+1);
        printf("%lld\n",ans[0]);
        for(i=1;i<=ans[0];i++)
            printf("%lld%c",ans[i],i==ans[0]?‘\n‘:‘ ‘);
    }
    return 0;
}

    

This passage is made by Yukino.