网络流（进阶）

Posted 2020-10-02 GGBeng

最大流：DINIC or SAP

最小费用最大流：SPFA+增广(费用的值较离散) or ZKW(费用的值集中)

有源汇的上下界最大流：新建s\', t\',用(i, j, l, r)表示i到j有一条下界为l上界为r的边，将每条这样的边拆成(s\', j, 0, l), (i, t\', 0, l), (i, j, 0, r-l)，加入边(t, s, 0, max)再从s‘到t\'求最大流，再去掉(t, s, 0, max)这条边，从s到t求最大流

有源汇的上下界最小可行流：基本同上，将最后一步改成从t到s反求一遍最大流来退流；也可以二分(t, s, 0, max)这条边的容量

有源汇的上下界最小费用可行流：拆边方法同上，从s\'向t\'求一遍最小费用最大流

有源汇的上下界最小费用最大流：基本同上，还要再s向t求一遍最小费用最大流(*这个是自己YY的，可能不对，求指教)

无源汇的最大流(无向图全局最小割)：Stoer-Wagner算法

无源汇的所有点对间最大流：分治，在当前点集内随便选两个点求最小割，用这个割更新一遍所有跨在两边的点对(不一定只是当前点集内的点)，再将自己的点集割成两部分，递归做

无源汇的上下界可行流：拆边，直接从s\'到t\'跑一遍最大流

无源汇的上下界最小费用可行流：拆边，直接从s\'到t\'跑一遍最小费用最大流

平面图最小割转最短路：将平面区域当成点，两个点之间的边权为原来这两个平面区域之间的边的容量，补上一条汇到源的正无穷边之后，求这条正无穷边的一边到另一边的最短路

有上下界的网络流问题：点击打开链接

 

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变形很多，最小割最大流定理的理解是关键

POJ 1149 - PIGS(较难)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1149

绝对经典的构图题

POJ 1273 - Drainage Ditches(基础)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1273

最大流入门

POJ 1459 - Power Network(基础)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1459

基本构图

POJ 1637 - Sightseeing tour(Crazy)
http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1637
题意：求混合图的欧拉迹是否存在
解法：无向边任意定向，构图，详建黑书P324

POJ 1815 - Friendship(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1815
题意：求最小点割
解法：拆点转换为边割
相关：http://hi.baidu.com/zfy0701/blog/item/a521f230b06dea9fa9018e0e.html

POJ 1966 - Cable TV Network(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1966
题意：去掉多少点让图不连通
解法：任定一源点，枚举汇点求点割集(转换到求边割)，求其中最小的点割

POJ 2112 - Optimal Milking(基础)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2112
二分枚举，最大流

POJ 2391 - Ombrophobic Bovines(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2391
题意：floyd, 拆点，二分枚举
相关：http://hi.baidu.com/zfy0701/blog/item/3e0006c4f73f0eaf8226acff.html

POJ 2396 - Budget(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2396
题意：有源汇的上下界可行流
解法：用矩阵-网络流模型构图，然后拆边
相关：http://hi.baidu.com/zfy0701/blog/item/6449d82a64e15e3e5343c1ba.html
最小割模型在竞赛中的应用

POJ 2455 - Secret Milking Machine(基础)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2455
二分枚举，一般来说需要写对边容量的更新操作而不是每次全部重新构图

POJ 2699 - The Maximum Number of Strong Kings(较难)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2699
解法：枚举人数 + 最大流(感谢xpcnq_71大牛的建图的提示)

POJ 2987 - Firing(较难)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2987
题意：最大权闭包
解法：先边权放大，第一问总量-最大流，第二问求最小割
相关：http://wywcgs.spaces.live.com/blog/cns!4D861A02A3382142!1109.entry?&_c02_owner=1

Profit(中等)

http://www.vijos.cn/Problem_Show.asp?id=1352
最大权闭包图的特殊情况

ZOJ 2071 - Technology Trader 也是此类型，懒了没做

http://acm.zju.edu.cn/show_problem.php?pid=2071

POJ 3084 - Panic Room(中等，好题)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3084
题意：略
解法：根据最小割建模

 

POJ 3155 - Hard Life(很挑战一题)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3155
题意：最大密度子图
解法：参数搜索 + 最大权闭合图，A.V.Goldberg的论文(nb解法)
最小割模型在信息学竞赛中的应用 一文中也有讲

POJ 3189 - Steady Cow Assignment(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3189
题意：寻找最小的区间完成匹配
解法：这题充分说明SAP的强大，纯暴力可过。更好的方法是在枚举区间的过程中不断删边和加边继续网络流过程

POJ 3204 - Ikki\'s Story I - Road Reconstruction(基础)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3204

ZOJ 2532 - Internship(基础)

http://acm.zju.edu.cn/show_problem.php?pid=2532
题意：确定边是否是某个割中的边
解法：两边dfs求割, 或暴力枚举(需要写取消某条增广路的操作(但数据弱，也许不取消也能混过))

POJ 3308 - Paratroopers(较难)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3308

POJ 2125 - Destroying The Graph(难)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2125
题意：最小点权覆盖

POJ 3469 - Dual Core CPU(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3469
题意：最小割

POJ 3498 - March of the Penguins(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3498
题意：满足点容量限制的网络流
解法：拆点把点容量转换为边容量，枚举汇点

ZOJ 2587 - Unique Attack(较难)

http://acm.zju.edu.cn/show_problem.php?pid=2587
题意：确定最小割是否是唯一的
解法：得理解dfs求最小割算法的本质

SPOJ 839 - Optimal Marks(难)

http://www.spoj.pl/problems/OPTM/
题意：略
解法：很经典哦，见amber的集训队论文，根据标号的每一位求最小割

SGU 326 - Perspective(中等)

http://acm.sgu.ru/problem.php?c0&problem=326
比较经典的构图法
费用流问题
可以KM解的就不放在这里，另外，感觉除非很特殊的图，一般用连续增广路的算法就够了

POJ 2175 - Evacuation Plan(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2175
题意：判断是否给定解是最优解，比较阴的一题
解法：根据给出的计划构造流，然后消且只消一次负圈

POJ 3422 - Kaka\'s Matrix Travels(中等)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3422
题意：略
解法：拆点

POJ 3680 - Intervals(较难)

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3680
题意：略，这题还是蛮经典
解法：discuss中比较详细

SPOJ 371 - Boxes(简单)

http://www.spoj.pl/problems/BOXES/
题意：略
解法：费用流，但似乎有比网络流更好的做法

SGU 185 - Two shortest(中等)

http://acm.sgu.ru/problem.php?c0&problem=185
题意：求两条不想交的最短路径

解法：费用流，也可以最短路 + 最大流。

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