网络流（毒瘤）学习总结1

Posted 2022-11-25 aurelian

这几天学了网络流，只想说，真的毒。。。

对于一个网络G = （V , E）；对于每一条边（x，y）∈ E；都有一个流量c（x，y）称为边的容量。特别的，若（x，y）? E，则
c（x，y）= 0。图中还有两个指定的特殊节点S ∈ V和 T ∈ V
（S ≠ T），分别称为源点和汇点。（以上内容摘自《算法竞赛进阶指南》）

好趴，不说那么高深莫测的废话，先上图(s到v2没有流，先别管)：

一个网络的一个流就是由一条从s到t的路径和路径上的流量组成的。

打个比方，每一条边就好比一根水管，它的容量就是水管的容量，超过容量水管会爆（砰~），而s是水源，水流源源不断地从s流出，t是。。。要用水的地方（想不出什么好的名词QWQ）。

于是，为了用更多的水，你要让更多的水从s流到t，而最后最多的水流就是该网络的最大流。

还是这个图：

一个大小为16的水流从s出发，到达v1，发现v1到v3容量大小只有12，于是没办法，只能12的水流先过去，剩下的4的水流发现v1还能到达v2，而且容量为10（大于4），可以通过，于是开心地过去啦！！在v3发现只能到达t了，而且容量为20（真大），于是12点的水先去了。。。在v2的水发现也只能去到v4，容量为14，于是通过，在v4同样的，刚刚好通过v4到t，一个从s到t的大小为16的流诞生了！！！

如果一个水管容量为10，其中已经有大小为4的水流过，那么它最多就只能再流过大小为6的水了。。。

如上图，如果s到v2流为0（即未连通），那么该网络的最大流就是刚刚所得到的16；假设s到v2的容量为10，这10的水到v2后去不了v1，因为v1到v3的边已经满流了，而v2到v4的边刚好还剩下10的容量，于是好不容易到达v4，结果发现v4到t的边也满流了，只好去到v3，发现v3还剩8的容量，流8点过去，剩下2点（你自己哭吧）。。。得到的最大流就是16+8=24；

终于讲完了什么是最大流了，思想其实还是很好懂的，可是怎么实现呢？？

卖个管（guan）子先。。。

于是，我们的Edmonds-Karp增广路算法诞生了。

介绍一下增广路的概念：若一条从s到t的路径上，各边的剩余容量都大于0，则称这条路径为一条增广路。那么很显然，我们的任务就是不断地寻找增广路，使整个网络的流量增大，直到找不到这样一条增广路为止。

而EK算法的思想就是通过BFS找增广路，直到网络上不存在增广路为止。在每次寻找过程中，我们考虑每一条剩余容量大于0的边，找到一条从s到t路径，然后这条路径是上的最小容量minf就是网络可以增加的流量。

但如果我们第一次流错了怎么办呢？什么意思呢，比如把点比作城市，边比作火车线路，而边的容量就是这条线路剩余的车票数，如果有三个人从城市1来到了城市2，城市2到城市3原本有5张车票，他们用了三张车票去了城市3，现在又有5个人到了城市2，他们也想去城市3，但车票却不够了，不过他们听说城市1有直接到城市3的线路而且车票剩余3张，那么聪明的你肯定想到了，让那三个人回到城市1（就是不来城市2）直接去城市3，这样城市2的这5个人也能去到城市3了，perfect！But，怎么让机器也懂得这样调度呢？

于是，我们可以在存边（x，y）时，同时存一条容量为0的反向边（y，x）（因为还没有人反悔），在BFS的过程中，正向边与反向边同时搜，如果搜到了正向边，表明是直接流过，如果是反向边，表明是反悔了。

也就是说，对于一条增广路，其中的每一条边（x，y）（无论是正向边还是反向边，因为反向边也能反悔）的剩余容量都要减少增广路的流量e，
而它的反向边（y，x）的剩余容量都要增加e（因为最多可以反悔e）。

好了，EK算法的核心已经介绍完了，它的时间复杂度理论上是O（$nm^2$）其实是O（能过），但实际运行时远远达不到这个程度，效率较高。

具体细节代码里详解吧。

洛谷P3376的模板题

再贴上代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int M = 100100,inf = 1 << 29;
int n,m,s,t,maxflow,tot = 1;//令tot从1开始累加，方便后面运算，具体看42,43行。 
int ver[M*2],edge[M*2],Next[M*2],head[M*2],pre[M*2];

void add(int x,int y,int z)
     ver[++tot] = y;edge[tot] = z;Next[tot] = head[x];head[x] = tot;//边权用来存剩余容量。 
     ver[++tot] = x;edge[tot] = 0;Next[tot] = head[y];head[y] = tot;//反向建边 


const int N = 10100;
int v[N],incf[N];
bool bfs()
     memset(v,0,sizeof(v));
     queue<int>q;
     q.push(s);v[s] = 1;
     incf[s] =  inf;//初始化流量为无穷大，这样才能找到最小值minf。 
     while(q.size())
        int x = q.front();q.pop();
        for(int i = head[x];i;i = Next[i])
            if(edge[i])//如果当前的边剩余容量大于0，可以选取。 
                int y = ver[i];
                if(v[y]) continue;//选过的点不选。 
                pre[y] = i;//记录前驱，便于找到路径的实际方案。 
                incf[y] = min(incf[x],edge[i]);//找路径上的最小流量minf。 
                q.push(y);v[y] = 1;
                if(y == t) return 1;//找到了，就返回1。 
             
         
     
     return 0;//未找到，说明不存在增广路了，搜索结束，返回0。 


void update()
     int x = t;
     while(x != s)//更新每一条边的剩余容量。 
        int i = pre[x];
        edge[i] -= incf[t];
        edge[i^1] += incf[t];//用了成对存储的技巧，从1开始成对存，i^1就可以找到反向边的编号。 
        x = ver[i^1];//另一个节点，直到倒推到源点s。 
     
     maxflow += incf[t];//更新最大流。 


int main()
    cin>>n>>m;
    cin>>s>>t;
    for(int i = 1;i <= m; i++)
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        add(a,b,c);//加边。 
    
    while(bfs()) update(); 
    printf("%d",maxflow);
    return 0;
 

本蒟蒻的第一篇博客呀，写得不好见谅啊QAQ

886。。。