网络流初步详解

Posted 2021-02-09 ssw02

众所周知，网络流是探究网络上运输的一种图论分支。但是大多数人在第一次接触这个题时都有些畏惧感（比如说我），大佬可以自信跳过..

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本文包括:

1.网络流的概念及基本性质

2.略谈 Edmonds-Karp增广路算法

3.详谈 Dinic 算法

4.网络流的应用以及ISAP算法引入

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1 . 网络流的概念及基本性质

网络流是图论的一种重要分支，我们可以将网络流初步理解为一种 水道 一样的网络。

基本定义： （部分参考《算法竞赛进阶指南》）

对于一个网络 (G = (V , E )) 为一张有向图，图中的每条有向边 $ ( X,Y)?E $ , 则 $ C(X,Y) = 0 $ 。图中还有两个节点 $ S , T $ 十分特殊，我们将其称为 源点 和 汇点 。

我们将 (f) 函数称作网络的流函数。

对于 ((X,Y)∈E , f(X,Y)) 称为边的流量 ，$ C(X,Y) - f(X,Y)$ 称为边的剩余流量。

知道大佬们都不想看， 那么直接一点。

假设有一片有向的水域，有多条有向的河流，河流都从 (S) 点出发，最终都汇向 $ T$ 点。每条河流有一定的宽度，只允许最多不超过该条河流边权值 的水流通过。

如上图 ，蓝点为源点 ， 红点为汇点。而紫色点和紫色边显然无用，选择不流过紫色。

** 默认 S 点的水量有无限多。 **

在初步了解后，按照流函数的定义，一个网络中的每条边实际上都有一条反向边，并且这些反向边都有一个负的流量， 这个定义将有助于我们解决之后的回溯问题。

基本性质：

1.容量限制

任意一条边的流量必定小于它的容量（及它的边权）。

2.斜对称定理

一条边((X,Y))中 (X) 到 (Y) 的流量必定与其反边((Y,X))中 (Y) 到 (X) 的流量相反。

3.流量守恒定理

除了源点 $ S $ 和 汇点 $ T $外 ，任意节点的 流入总量 都等于 流出总量 。即不会存储流量 。

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2.略谈 Edmonds-Karp增广路算法

学习过匈牙利算法的同学已经了解增广路的定义，没有的话建议先 $ A$ 掉P3386 【模板】二分图匹配
，将有利于理解本文（貌似没有关联）。

但是增广路此时的定义为：

一条增广路从源点 (S) 到汇点 (T) 的路径上各边的剩余流量的最小值大于 0 。

而Edmonds-Karp增广路算法（下列简称EK算法）的思路就是对该网络进行BFS，不断找出其增广路，直至将该网络上的所有增广路全部找出。

EK算法的正确性显然，在这里就不给出详细证明。（有兴趣者可参考《算法竞赛进阶指南》）。

EK算法具体实现过程如下：

1 . 用BFS在网络上寻找可行增广路。

2 . 在BFS找到任意一条增广路时计算出该增广路上各边剩余流量的最小值 min 。

3 . 最大流 (maxflow) 的值增加 min ,如此往复直至BFS找不增广路。

给出图 及 图的最大流 7 作参考

代码暂未上传。

但是EK算法存在明显的局限性，及每次更新都要从头到尾BFS一下，只能解决 (O(nm^2)) 的网络。

于是我们又有下面这个经一步优化的算法。

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3.详谈 Dinic 算法

之所以详谈Dinic算法，是因为Dinic算法是代码较简单，较容易实现并且效率极高的网络流算法之一，它对于普通的网络图，处理范围可以达到 $ 10^4 - 10^5 $ 。而相比之下，EK算法仅有 $ 10^3 - 10^4 $的处理范围。

并且某位大师推演出Dinic算法在二分图中的复杂度仅有 $m sqrt{n} $ ， 所以可以在二分图中愉快地跑网络流 啦。上一道例题P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏，熟练后可以切了它。

我们先介绍一下Dinic算法的核心之一：残量网。

残量网是指在当前网络中的所有节点以及 ** 剩余容量大于 (0) ** 的边构成的子图。

但是有了残量网还不够，要精准判断残量网上两点 (X,Y) 的关系，即判断它们是否有环之类神奇的边，我们还要借助满足 $d[y] = d[x] + 1 $ 的分层图。

Dinic算法思路：

1 . 开一个队列， 在残量网中BFS一次，按照遍历层数为每个点表上层次 $ d[ x ] $ ，构造分层图并且判断能否从源点 (S) 到达汇点 (T) 。如果失败则说明残量网无法到达汇点。

2 . 在构造好的残量网上DFS寻找增广路并且，更新边及反边，（否则DFS无法后悔）。

3 . 不断重复 1 2 步骤直至构造的残量网无法到达汇点。

实践是检验真理的唯一标准

模板题P3376 【模板】网络最大流

(AC)代码及讲解：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const  int  inf =  0x3f3f3f3 , N = 10000 + 19  ;

int  head[ N*2 ], d[ N ] , to[ N*10*2 ] , w[ N*10*2 ] , next[ N*10*2 ]  ;

int  n , m , s, t , tot = 1 , maxflow = 0 ;//maxflow记录答案 

inline int read()
{
    int s = 0,w = 1;
    char g = getchar();
    while(g<'0'||g>'9'){if(g=='-')w*=-1;g = getchar();}
    while(g>='0'&&g<='9'){s = s*10+g-'0';g = getchar();}
    return s*w;
}

queue<int> q ;//广搜时采用队列

void  add( int  x , int  y , int  z ){
    tot++; to[ tot ] = y , w[ tot ] = z , next[ tot ] = head[ x ] , head[ x ] = tot;
    tot++; to[ tot ] = x , w[ tot ] = 0 , next[ tot ] = head[ y ] , head[ y ] = tot;
}//建立边和反向边，注意反向边的流量初始为 0 

bool  bfs(){//在残量网络上构造分层图
    memset( d , 0 , sizeof(d) ) ; //将之前的分层清0，继续跑残量网络找可行增广路
    while( q.size() ) q.pop() ; //队列清 0 ;
    q.push( s ) ; d[ s ] = 1 ; //将源点加入队列，层数为 1 ，开始广搜 
    while( q.size() ){
        int  x = q.front() ; q.pop() ;
        for( int  i = head[ x ] ; i ; i = next[ i ])
            if( w[ i ] && !d[ to[i] ] ){//目标边的流量不为0 且 为被遍历分层
                q.push( to[ i ] ) ;
                d[ to [ i ] ] = d[ x ] + 1;
                if( to[ i ] == t )return 1 ; //找到一条可行增广路
            }
    }
    return 0 ;//未找到，不存在增广路
}

int  dinic( int  x , int  flow ){ //在分层图上进行增广
    if( x == t )return flow ;//源点即使汇点，流量不限量
    int  rest = flow , k ;
    for( int  i = head[ x ] ; i && rest ; i = next[ i ] )//当前可流入最大流量不为0 ,
        if( w[ i ] && d[ to [ i ] ] == d[ x ] + 1 ){//目标路径有剩余流量，且不存在环之类神奇的东西
            k = dinic( to[ i ] , min( rest , w[ i ] ) );//继续搜
            if( !k )d[ to [ i ] ] = 0 ; //剪枝，如果 k(下一层可流入流量图为 0 )，cut
            w[ i ] -= k ; 
            w[ i ^ 1 ] += k ;//占用k流量，注意反边要加上k，不然无法退回
            rest -= k ; //当前节点的剩余汇入流量-k;
        }
       return flow - rest ; //递归完成
}

int  main()
{
    n = read() ; m = read() ; s = read() ; t = read() ;
    for( int  i = 1 ; i <= m ; ++i ){
        int  x = read() , y = read() , L = read() ;
        add( x , y , L ) ;  
    }
    int  flow = 0 ; 
    while( bfs() ){//存在增广路
        while( flow = dinic ( s , inf ))maxflow += flow ; 
    }
    printf("%d",maxflow) ;
    return  0 ;
}

Dinic算法一定要手敲一遍板子，不然你连错在哪都查不出来（除了机对）。

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4.网络流的应用以及ISAP算法引入

ISAP算法是EK算法的另一类优化， ISAP算法只需一次BFS即可，但代码难度远远高于Dinic算法。

ISAP算法复杂度在非二分图上高于Dinic算法，在二分图则不如Dinic算法。

在此暂时不详讲，日后会更新ISAP算法详解。

网络流的应用

网络流应用较广， 但建议新手按以下顺序A题，熟练算法和增强应用能力。

P3376 【模板】网络最大流

U60438 及川奈砂的蛋糕

P1129 [ZJOI2007]矩阵游戏

P2891 [USACO07OPEN]吃饭Dining

最后是网络流24题

网络流深入请见这位大佬：网络流深入

本文到此结束，若有不足，恳请大佬指出。

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