[3D数学]向量

Posted 2020-10-02 tianjiuwan

<1>向量与标量：

                          向量：有方向有长度(非负,比如(1,0,0) 方向指向X+，长度为1。normalize向量规范化，向量方向不变，但是长度为1，计算向量夹角一般规范化向量，求出cosa的值，acos反余弦求夹角)

                         标量：只有长度（强调的是数值）

<2>向量的维度：

                           2维(0,1)  3维(0,0,1)  4维(0,1,1,0)  4维在CG语言中：比如color就有4个维度rgba  _Time也有四个维度；值得注意的是：2维用x,y表示 3维用x,y,z表示 4维用x,y,z,w表示 在CG语言中4维也可以用r,g,b,a表示

<3>位置与位移：

                            位置：很好理解是一个position，是一个坐标点

                            位移：比如我向前位移3步，我的位置发生了改变，但是这个位移却不是位置，它是由大小（3步）和方向（向前）构成，所以它能用向量表示

                            速度与速率：是一个向量吗？我行走的速度是10KM，明显是一个数值（速率）；速度是10KM向北走，它可以用向量表示（速度）；

<4>向量与位置：

                            现在有点(x,y) 有向量(x,y) 看似两个很相似，但是却不一样：向量[x,y]描述了远点到点(x,y)的位移量

                            任何一点都能用从远点开始的向量来表达

<5>线性代数：

                           数学中专门研究向量的分支称作线性代数

                          1. 零向量: 表示"没有位移" 

<6>向量的运算：

                           1.向量的模长(长度、大小)：|v| = sqrt(v1^2+v2^2+v3^2+...vn^2)  所有分量的平方相加  再开平方   （其实就是三角形的斜边啦 勾股定律可以求斜边长度，三维向量更复杂）

                           2.向量*标量： 向量的分量分别*标量k=2   v=(x,y,z) * 2 = (2x,2y,2z)；意义：向量*标量使得向量的长度增加了k倍，如果标量k<0 则向量方向相反

                           3.标准化向量：单位长度为1的向量，称为标准向量；在unity中向量m.normalize即可以规范化向量m；在CG语言中normalize(m)规范化向量m ；如何求向量的规范化向量：分量 / 向量模长

                           4.向量的加减：加法：对应分量的加减啦；几何解释：向量a,b的相加解释为：平移向量，使向量a的头连接向量b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量，得到的就是a+b，这就是向量假发的"三角形法则"

                                                                  向量解释为位移序列：[1,-3,-4]分解为：向右1个单位，向下3个单位，向前4个单位（这一概念将用在坐标系间转换向量）

                                                      减法：求点a到点b的向量 m = b-a；m = (b1-a1,b2-a2,b3-a3) = (x,y,z)；那么问题来了：在unity中求a点到b点的距离我们是怎么求得的？

                                                                  dis = Vector3.Distance(a,b) 或者 dis = (a-b).magnitude 内部其实就是求出了两点的向量，再求向量的模长

                           5.向量的点乘(内积)：Dot(a,b) 就是对应分量相乘再相加 a1*b1+a2*b2+..an*bn   或者 |a| * |b| *cos&    (1,1)*(-1,1) = 1*-1 + 1*1 = 0   或者 |(1,1)| * |(-1,1)| * cos90 = 1*1*0 = 0 

                                                                 向量点乘的结果是一个数值

                          6.向量的叉乘：Cross(a,b)如图:得到的值为以一个向量:垂直于a,b向量平面的法向量，这个法向量的长度与a,b夹角sin&有关；aXb的长度 = |a| * |b| * sin&